Análisis de la proporción de un compuesto nocivo

**a) ¿Cuál es la proporción el tercer día? (0.25 puntos)** Para hallar la proporción el tercer día, simplemente debemos sustituir el valor de $x = 3$ en la función proporcionada $N(x)$: $$N(3) = \frac{1}{100}\left(-4(3)^4 + 128(3)^2 + 54\right)$$ Calculamos las potencias: - $3^4 = 81$ - $3^2 = 9$ Sustituimos y operamos: $$N(3) = \frac{1}{100}\left(-4(81) + 128(9) + 54\right)$$ $$N(3) = \frac{1}{100}(-324 + 1152 + 54)$$ $$N(3) = \frac{882}{100} = 8.82$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para evaluar una función basta con sustituir la variable independiente por el valor deseado y seguir la jerarquía de operaciones (potencias, luego multiplicaciones y finalmente sumas). ✅ **Resultado:** $$\boxed{8.82}$$

**b) Determina qué día se obtiene el máximo y qué día se obtiene el mínimo. (1 punto)** Para hallar los extremos (máximos y mínimos) en el intervalo cerrado $[1, 5]$, primero calculamos la derivada de la función $N(x)$ para localizar los puntos críticos: $$N'(x) = \frac{1}{100}(-16x^3 + 256x)$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos donde la pendiente es nula: $$\frac{1}{100}(-16x^3 + 256x) = 0 \implies -16x^3 + 256x = 0$$ Factorizamos la ecuación: $$-16x(x^2 - 16) = 0$$ Esto nos da tres posibles soluciones: 1. $-16x = 0 \implies x = 0$ 2. $x^2 - 16 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = 4, \; x = -4$ Como nuestro dominio de estudio es **$(1 \le x \le 5)$**, el único punto crítico que nos interesa es **$x = 4$**. 💡 **Tip:** En problemas con intervalos cerrados, los extremos absolutos pueden estar en los puntos donde la derivada es cero o en los extremos del propio intervalo ($x=1$ y $x=5$).

Analizamos el signo de la derivada $N'(x)$ en el intervalo dado para ver el comportamiento de la función: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (1, 4) & 4 & (4, 5) \\ \hline N'(x) & + & 0 & - \\ \text{Función } N(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ - En el intervalo $(1, 4)$, si tomamos $x=2$: $N'(2) = \frac{1}{100}(-16(8) + 256(2)) = \frac{384}{100} \gt 0$, por lo que la función **crece**. - En el intervalo $(4, 5)$, si tomamos $x=4.5$: $N'(4.5) \lt 0$ (puedes comprobarlo sustituyendo), por lo que la función **decrece**. Al crecer hasta $x=4$ y luego decrecer, confirmamos que en **$x=4$ hay un máximo**. Para determinar el mínimo absoluto, debemos comparar los valores en los extremos del intervalo ($x=1$ y $x=5$).

**c) ¿A qué valor ascienden ambos? (0.75 puntos)** Evaluamos la función en el punto crítico y en los extremos del intervalo para comparar los valores: 1. **Día 1 (extremo):** $N(1) = \frac{1}{100}(-4(1)^4 + 128(1)^2 + 54) = \frac{-4 + 128 + 54}{100} = \frac{178}{100} = 1.78$ 2. **Día 4 (máximo relativo):** $N(4) = \frac{1}{100}(-4(4)^4 + 128(4)^2 + 54) = \frac{-1024 + 2048 + 54}{100} = \frac{1078}{100} = 10.78$ 3. **Día 5 (extremo):** $N(5) = \frac{1}{100}(-4(5)^4 + 128(5)^2 + 54) = \frac{-2500 + 3200 + 54}{100} = \frac{754}{100} = 7.54$ Comparando los resultados: - El valor máximo es **10.78** y ocurre el **día 4**. - El valor mínimo es **1.78** y ocurre el **día 1**. ✅ **Resultados finales:** $$\boxed{\text{Máximo: día 4 con un valor de 10.78}}$$ $$\boxed{\text{Mínimo: día 1 con un valor de 1.78}}$$