Probabilidad: Sorteo de entradas

En primer lugar, definimos el número total de alumnos y cuántos pertenecen a cada ciudad para tener claras las frecuencias: - Alumnos de Albacete ($A$): $14$ - Alumnos de Cuenca ($C$): $5$ - Alumnos de Toledo ($T$): $8$ - **Total de alumnos ($N$):** $14 + 5 + 8 = 27$ Para el apartado **a)**, nos preguntan por alumnos que **no son de Albacete** (que llamaremos $NA$). Estos son los de Cuenca y Toledo juntos: - Alumnos No Albacete ($NA$): $5 + 8 = 13$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad, siempre es útil sumar todas las partes para confirmar el espacio muestral total.

**a) Se sortean dos entradas entre todos los alumnos, >cual es la probabilidad de que ambas entradas le toquen a alumnos que no son de Albacete? (pueden tocarle al mismo alumno las dos entradas). (0.75 puntos)** El enunciado indica que «pueden tocarle al mismo alumno las dos entradas», lo que significa que el sorteo es **con reemplazamiento** (o con repetición). Esto implica que la probabilidad en la segunda extracción es la misma que en la primera, ya que el número total de alumnos no cambia. Representamos el árbol de decisión para las dos extracciones considerando solo si son de Albacete ($A$) o No de Albacete ($NA$): Buscamos el camino superior (Extraer $NA$ y luego Extraer $NA$): $$P(NA_1 \cap NA_2) = P(NA_1) \cdot P(NA_2) = \frac{13}{27} \cdot \frac{13}{27}$$ Operamos: $$P(\text{Ambas No Albacete}) = \frac{169}{729} \approx 0.2318$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{169}{729} \approx 0.2318}$$

**b) Si sorteamos 5 entradas, de una en una, de forma que no participa en el sorteo la persona que ya le haya tocado una entrada, >cual es la probabilidad de que las 5 sean para alumnos de Toledo? (0.75 puntos)** En este caso, el sorteo es **sin reemplazamiento** (muestreo sin reposición), ya que la persona agraciada ya no participa en los siguientes sorteos. Esto significa que tanto el número de alumnos de Toledo como el total de alumnos en clase disminuyen en 1 tras cada extracción. Sea $T_i$ el evento de que la entrada $i$ le toque a un alumno de Toledo. Queremos calcular: $$P(T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4 \cap T_5)$$ Aplicamos la regla de la probabilidad compuesta (probabilidades dependientes): 1. Primera entrada: hay 8 de Toledo de un total de 27. $P(T_1) = \frac{8}{27}$ 2. Segunda entrada: quedan 7 de Toledo de un total de 26. $P(T_2|T_1) = \frac{7}{26}$ 3. Tercera entrada: quedan 6 de Toledo de un total de 25. $P(T_3|T_1, T_2) = \frac{6}{25}$ 4. Cuarta entrada: quedan 5 de Toledo de un total de 24. $P(T_4|T_1, T_2, T_3) = \frac{5}{24}$ 5. Quinta entrada: quedan 4 de Toledo de un total de 23. $P(T_5|\dots) = \frac{4}{23}$ Multiplicamos todas las probabilidades: $$P = \frac{8}{27} \cdot \frac{7}{26} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{24} \cdot \frac{4}{23}$$ Simplificamos antes de multiplicar para facilitar el cálculo: $$P = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23} = \frac{6720}{9687600}$$ Dividiendo entre 240 arriba y abajo: $$P = \frac{28}{40365} \approx 0.0006937$$ 💡 **Tip:** Cuando los eventos son sin reemplazamiento, recuerda restar una unidad tanto al numerador como al denominador en cada paso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{28}{40365} \approx 0.00069}$$