Probabilidad y Estadística 2021 Castilla la Mancha
Inferencia estadística: Intervalo de confianza para la media
6. Se ha tomado una muestra aleatoria del contenido en gramos de azucar de 10 latas de refresco de cola y ha resultado ser: 70, 75, 85, 100, 60, 80, 120, 95, 65 y 90. Suponiendo que el contenido en azucar en gramos de una lata de refresco de cola se distribuye segun una ley normal de desviacion típica $\sigma = 10$ gramos, se pide:
a) Halla el intervalo de confianza del 97 % para el contenido medio de azucar en una lata de refresco de cola. (1 punto)
b) Razona y explica que se podria hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud con el mismo nivel de confianza. (0.5 puntos)
c) ¿Crees que la media poblacional $\mu$ del contenido en gramos de azucar es de 90 gramos con una probabilidad del 98.5 %? Razona tu respuesta. (0.5 puntos)
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline z & 0.00 & 0.01 & 0.02 & 0.03 & 0.04 & 0.05 & 0.06 & 0.07 & 0.08 & 0.09 \\ \hline 2.0 & 0.9772 & 0.9778 & 0.9783 & 0.9788 & 0.9793 & 0.9798 & 0.9803 & 0.9808 & 0.9812 & 0.9817 \\ \hline 2.1 & 0.9821 & 0.9826 & 0.9830 & 0.9834 & 0.9838 & 0.9842 & 0.9846 & 0.9850 & 0.9854 & 0.9857 \\ \hline \end{array}$$
Paso 1
Cálculo de la media muestral
**a) Halla el intervalo de confianza del 97 % para el contenido medio de azucar en una lata de refresco de cola.**
Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado:
- Tamaño de la muestra: $n = 10$
- Desviación típica poblacional: $\sigma = 10$
- Datos de la muestra: $70, 75, 85, 100, 60, 80, 120, 95, 65, 90$
Calculamos la media muestral $\bar{x}$:
$$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{70 + 75 + 85 + 100 + 60 + 80 + 120 + 95 + 65 + 90}{10}$$
$$\bar{x} = \frac{840}{10} = 84$$
💡 **Tip:** La media muestral es el punto central del intervalo de confianza. Es fundamental sumarlos todos con cuidado.
$$\boxed{\bar{x} = 84 \text{ gramos}}$$
Paso 2
Determinación del valor crítico $z_{\alpha/2}$
Para un nivel de confianza del $97 \%$, tenemos:
$1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$
Calculamos el valor de la probabilidad acumulada para buscar en la tabla:
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0.03}{2} = 1 - 0.015 = 0.9850$$
Buscamos el valor $0.9850$ en el interior de la tabla normal proporcionada:
Observamos que el valor $0.9850$ se corresponde con la fila $2.1$ y la columna $0.07$.
Por tanto:
$$z_{\alpha/2} = 2.17$$
💡 **Tip:** Recuerda que $z_{\alpha/2}$ es el valor que deja un área de $\alpha/2$ a su derecha y, por tanto, un área de $1 - \alpha/2$ a su izquierda.
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$
Paso 3
Cálculo del error y del intervalo de confianza
La fórmula del error máximo admisible es:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Sustituimos los valores:
$$E = 2.17 \cdot \frac{10}{\sqrt{10}} = 2.17 \cdot \sqrt{10} \approx 2.17 \cdot 3.1623 \approx 6.8622$$
El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$:
$$I.C. = (84 - 6.8622, \; 84 + 6.8622) = (77.1378, \; 90.8622)$$
Redondeando a dos decimales:
$$\boxed{I.C. = (77.14, \; 90.86)}$$
Paso 4
Análisis de la amplitud del intervalo
**b) Razona y explica que se podria hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud con el mismo nivel de confianza.**
La amplitud del intervalo es la diferencia entre el extremo superior y el inferior, es decir, el doble del error:
$$A = 2E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Si mantenemos el mismo nivel de confianza, $z_{\alpha/2}$ es constante. La desviación típica $\sigma$ es un parámetro de la población y no suele poder modificarse. Por tanto, para disminuir la amplitud ($A$), debemos aumentar el denominador de la fracción.
Para que la amplitud disminuya, se debe **aumentar el tamaño de la muestra ($n$)**.
💡 **Tip:** Al aumentar $n$, el término $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ se hace más pequeño, lo que reduce el error y estrecha el intervalo.
✅ **Conclusión:**
$$\boxed{\text{Se debe aumentar el tamaño de la muestra } n}$$
Paso 5
Justificación sobre la probabilidad de la media poblacional
**c) ¿Crees que la media poblacional $\mu$ del contenido en gramos de azucar es de 90 gramos con una probabilidad del 98.5 %? Razona tu respuesta.**
No, por dos razones fundamentales:
1. En estadística clásica, la media poblacional $\mu$ es un **parámetro fijo y constante**, aunque desconocido. No es una variable aleatoria, por lo que no tiene sentido asignarle una probabilidad de tomar un valor puntual.
2. La distribución normal es una distribución continua. En cualquier distribución continua, la probabilidad de que la variable tome un valor exacto (un punto) es **cero**: $P(\mu = 90) = 0$.
El valor del $98.5 \%$ mencionado en el enunciado es simplemente la probabilidad acumulada $P(Z \le 2.17)$, utilizada para calcular el intervalo del apartado (a), pero no representa la probabilidad de que la media sea un valor concreto.
✅ **Respuesta:**
$$\boxed{\text{No, la probabilidad de que } \mu \text{ sea exactamente un valor es } 0.}$$