Sistema de ecuaciones: Encuesta sobre piscina cubierta

**a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar que cantidad de personas eligen cada respuesta. (1.5 puntos)** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan el número de personas para cada opción de respuesta: - $x$: número de personas que responden **SI**. - $y$: número de personas que responden **NO**. - $z$: número de personas que responden **NO SABE/NO CONTESTA (NS/NC)**. A continuación, extraemos las ecuaciones de la información del enunciado: 1. **Total de personas encuestadas:** Se pregunta a 600 personas, por lo que la suma de todas las respuestas debe ser igual al total: $$x + y + z = 600$$ 2. **Relación entre el NO y NS/NC:** El enunciado indica que los que dicen NO ($y$) son la mitad de los que no saben o no contestan ($z$): $$y = \frac{z}{2} \implies 2y - z = 0$$ 3. **Porcentaje de personas que mienten:** Se sabe que el $30\%$ del total de los que contestan SI o NO ($x + y$) mienten, y este grupo suma 135 personas: $$0,30 \cdot (x + y) = 135$$ Podemos simplificar esta ecuación dividiendo por $0,30$: $$x + y = \frac{135}{0,30} = 450$$ 💡 **Tip:** Al traducir problemas a lenguaje algebraico, fíjate en palabras clave como "el total" (suma), "la mitad" (dividir por 2) o "el porcentaje de" (multiplicar por el decimal correspondiente).

Agrupamos las ecuaciones obtenidas para formar el sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas: $$\begin{cases} x + y + z = 600 \quad (E_1) \\ 2y - z = 0 \quad (E_2) \\ x + y = 450 \quad (E_3) \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 600 \\ 2y - z = 0 \\ x + y = 450 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)** Para resolverlo de forma sencilla, observamos que podemos combinar la primera y la tercera ecuación. De la ecuación $(E_3)$ sabemos que $x + y = 450$. Sustituimos este valor directamente en la ecuación $(E_1)$: $$(x + y) + z = 600 \implies 450 + z = 600$$ Despejamos $z$: $$z = 600 - 450 = 150$$ Ahora, utilizamos la ecuación $(E_2)$ para hallar el valor de $y$ sabiendo que $z = 150$: $$2y - 150 = 0 \implies 2y = 150 \implies y = \frac{150}{2} = 75$$ 💡 **Tip:** Aunque los sistemas pueden resolverse por Gauss, a veces la estructura de las ecuaciones permite sustituciones rápidas que ahorran mucho tiempo y reducen errores de cálculo.

Finalmente, sustituimos los valores de $y = 75$ y $z = 150$ en la ecuación original $(E_1)$ (o usamos la ecuación $E_3$) para hallar $x$: Usando $x + y = 450$: $$x + 75 = 450 \implies x = 450 - 75 = 375$$ **Comprobación:** Sumamos los resultados: $375 + 75 + 150 = 600$. El resultado es coherente con el enunciado. Por tanto, la cantidad de personas para cada respuesta es: - Personas que eligen **SI**: $375$ - Personas que eligen **NO**: $75$ - Personas que eligen **NS/NC**: $150$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{x = 375, \; y = 75, \; z = 150}$$