Propiedades de la inversión de matrices y ecuaciones matriciales

**a) Dadas las matrices $M = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $N = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ comprueba que $(M \cdot N)^{-1} = N^{-1} \cdot M^{-1}$. (1 punto)** Primero calculamos el producto $P = M \cdot N$. Para ello, multiplicamos las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda: $$M \cdot N = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(1) + (-3)(1) & (-2)(-2) + (-3)(-1) \\ (1)(1) + (1)(1) & (1)(-2) + (1)(-1) \end{pmatrix}$$ Calculamos los elementos resultantes: $$M \cdot N = \begin{pmatrix} -2 - 3 & 4 + 3 \\ 1 + 1 & -2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 7 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices de orden $2 \times 2$, el elemento $c_{ij}$ es la suma de los productos de los elementos de la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda.

Para hallar la inversa de $P = M \cdot N$, calculamos primero su determinante: $$|M \cdot N| = \begin{vmatrix} -5 & 7 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = (-5)(-3) - (7)(2) = 15 - 14 = 1$$ Como el determinante es distinto de cero, existe la matriz inversa. Usamos la fórmula para matrices $2 \times 2$: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$$ 1. Matriz de adjuntos: $\text{Adj}(P) = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ -7 & -5 \end{pmatrix}$ 2. Traspuesta de la adjunta: $\text{Adj}(P)^t = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}$ Por tanto: $$(M \cdot N)^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ -2 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{(M \cdot N)^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}}$$

Ahora calculamos las inversas de $M$ y $N$ por separado: **Para $M$:** $|M| = \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (-2)(1) - (-3)(1) = -2 + 3 = 1$ $$M^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -(-3) \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$ **Para $N$:** $|N| = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (-2)(1) = -1 + 2 = 1$ $$N^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -1 & -(-2) \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$ $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Calculamos el producto $N^{-1} \cdot M^{-1}$: $$N^{-1} \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$ $$N^{-1} \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} (-1)(1) + (2)(-1) & (-1)(3) + (2)(-2) \\ (-1)(1) + (1)(-1) & (-1)(3) + (1)(-2) \end{pmatrix}$$ $$N^{-1} \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} -1 - 2 & -3 - 4 \\ -1 - 1 & -3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}$$ Comparamos los resultados de los pasos anteriores: $$(M \cdot N)^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ -2 & -5 \end{pmatrix} \quad y \quad N^{-1} \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(M \cdot N)^{-1} = N^{-1} \cdot M^{-1}}$$

**b) Resuelve la ecuación $M \cdot X = N$ (0.5 puntos)** Para resolver la ecuación $M \cdot X = N$, debemos despejar la matriz $X$. Como $M$ está multiplicando por la izquierda, multiplicamos por su inversa $M^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros: $$M^{-1} \cdot M \cdot X = M^{-1} \cdot N$$ $$I \cdot X = M^{-1} \cdot N$$ $$X = M^{-1} \cdot N$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden importa. Si $M$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe aparecer a la izquierda de $N$.

Utilizamos la matriz $M^{-1}$ que calculamos en el apartado anterior y realizamos el producto por $N$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} (1)(1) + (3)(1) & (1)(-2) + (3)(-1) \\ (-1)(1) + (-2)(1) & (-1)(-2) + (-2)(-1) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1 + 3 & -2 - 3 \\ -1 - 2 & 2 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}}$$