Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes: Quesos

Para resolver el problema, lo primero es definir los sucesos que intervienen y organizar la información aportada por el enunciado. **a) Determinar el árbol de probabilidades.** Definimos los sucesos según la marca: - $A$: El queso es de la marca A. - $B$: El queso es de la marca B. - $C$: El queso es de la marca C. Calculamos la probabilidad de la marca C sabiendo que la suma de todas las marcas debe ser el 100% (o 1 en decimal): $$P(A) = 0.35$$ $$P(B) = 0.38$$ $$P(C) = 1 - (0.35 + 0.38) = 1 - 0.73 = 0.27$$ Ahora definimos el suceso relativo a la sal: - $S$: El queso tiene exceso de sal. - $\bar{S}$: El queso no tiene exceso de sal. Las probabilidades condicionadas dadas son: $$P(S|A) = 0.02 \implies P(\bar{S}|A) = 1 - 0.02 = 0.98$$ $$P(S|B) = 0.03 \implies P(\bar{S}|B) = 1 - 0.03 = 0.97$$ $$P(S|C) = 0.025 \implies P(\bar{S}|C) = 1 - 0.025 = 0.975$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en cada nodo de un árbol de probabilidad, la suma de las probabilidades de las ramas que salen de él siempre debe ser 1.

A continuación, representamos gráficamente la estructura del problema mediante un árbol de probabilidades. ✅ **Resultado del árbol detallado anteriormente.**

**b) Calcular la probabilidad de que un queso elegido al azar no tenga exceso de sal.** Para calcular la probabilidad de que un queso no tenga exceso de sal ($P(\bar{S})$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Debemos sumar las probabilidades de llegar al suceso $\bar{S}$ a través de cada una de las marcas: $$P(\bar{S}) = P(A) \cdot P(\bar{S}|A) + P(B) \cdot P(\bar{S}|B) + P(C) \cdot P(\bar{S}|C)$$ Sustituimos los valores obtenidos en el paso anterior: $$P(\bar{S}) = (0.35 \cdot 0.98) + (0.38 \cdot 0.97) + (0.27 \cdot 0.975)$$ Realizamos los cálculos intermedios: - Marca A y no sal: $0.35 \cdot 0.98 = 0.343$ - Marca B y no sal: $0.38 \cdot 0.97 = 0.3686$ - Marca C y no sal: $0.27 \cdot 0.975 = 0.26325$ Sumamos los resultados: $$P(\bar{S}) = 0.343 + 0.3686 + 0.26325 = 0.97485$$ 💡 **Tip:** También podrías calcular primero $P(S)$ y luego hacer el complementario $1 - P(S)$, el resultado debe ser el mismo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{S}) = 0.97485}$$ (o un 97,485% de probabilidad)

**c) Si un queso elegido al azar tiene exceso de sal, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca C?** En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori, es decir, sabiendo que ha ocurrido el suceso $S$ (exceso de sal), ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la marca $C$? Para ello usamos el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(C|S) = \frac{P(C \cap S)}{P(S)} = \frac{P(C) \cdot P(S|C)}{P(S)}$$ Primero, calculamos $P(S)$ (probabilidad total de tener exceso de sal). Podemos usar el complementario del apartado anterior: $$P(S) = 1 - P(\bar{S}) = 1 - 0.97485 = 0.02515$$ Ahora calculamos el numerador $P(C \cap S)$: $$P(C \cap S) = P(C) \cdot P(S|C) = 0.27 \cdot 0.025 = 0.00675$$ Finalmente, calculamos el cociente: $$P(C|S) = \frac{0.00675}{0.02515} \approx 0.2683896...$$ Redondeando a cuatro decimales: $$P(C|S) \approx 0.2684$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una 'causa' (Marca C) dado un 'efecto' observado (Exceso de sal). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|S) \approx 0.2684}$$ (aproximadamente un 26,84%)