Estimación de la proporción de votantes e intervalo de confianza

**a) Si de una muestra de 750 personas, 300 dicen que lo votan, calcular, con un nivel de confianza del 97%, un intervalo para la proporción de votantes de la población a ese partido.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para el primer apartado: - Tamaño de la muestra: $n = 750$ - Número de éxitos (votantes): $x = 300$ Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{300}{750} = 0,4$$ Calculamos el valor complementario ($\hat{q}$): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,4 = 0,6$$ 💡 **Tip:** En inferencia estadística para proporciones, siempre trabajamos con $\hat{p}$ (proporción de éxito) y $\hat{q}$ (proporción de fracaso), donde $\hat{p} + \hat{q} = 1$.

Para construir el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $97\%$. 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,97 \implies \alpha = 0,03$ 2. Calculamos $\alpha/2 = 0,015$ 3. Buscamos el valor de la probabilidad acumulada: $1 - \alpha/2 = 1 - 0,015 = 0,985$ Buscamos en la tabla de la **distribución Normal $N(0, 1)$** el valor de $z$ cuya probabilidad sea $0,985$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,985 \implies z_{\alpha/2} = 2,17$$

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es: $$IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \, , \, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2,17 \cdot \sqrt{\frac{0,4 \cdot 0,6}{750}}$$ $$E = 2,17 \cdot \sqrt{\frac{0,24}{750}} = 2,17 \cdot \sqrt{0,00032}$$ $$E \approx 2,17 \cdot 0,01789 \approx 0,0388$$ Ahora construimos el intervalo: $$IC = (0,4 - 0,0388 \, , \, 0,4 + 0,0388) = (0,3612 \, , \, 0,4388)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (0,3612 \, , \, 0,4388)}$$

**b) Si, en otra muestra, la proporción de votantes ha sido 0,3 y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0,05, con un nivel de confianza del 99%, calcular el tamaño de dicha muestra.** Extraemos los datos del segundo apartado: - Proporción muestral: $\hat{p} = 0,3$ - Complementario: $\hat{q} = 0,7$ - Error máximo: $E \lt 0,05$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,99$ La incógnita es el tamaño de la muestra ($n$).

Calculamos $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $99\%$: 1. $1 - \alpha = 0,99 \implies \alpha = 0,01$ 2. $\alpha/2 = 0,005$ 3. $1 - \alpha/2 = 1 - 0,005 = 0,995$ Buscamos en la tabla de la Normal $N(0, 1)$ el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,995$. El valor se encuentra exactamente entre $2,57$ (cuya probabilidad es $0,9949$) y $2,58$ (cuya probabilidad es $0,9951$): $$z_{\alpha/2} = 2,575$$ 💡 **Tip:** En el nivel de confianza del $99\%$, es muy común usar el valor intermedio $2,575$ para una mayor precisión.

Partimos de la fórmula del error para despejar $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}$$ $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(2,575)^2 \cdot 0,3 \cdot 0,7}{0,05^2}$$ $$n = \frac{6,630625 \cdot 0,21}{0,0025}$$ $$n = \frac{1,39243125}{0,0025} = 556,97$$ Como el error debe ser **inferior** a $0,05$, necesitamos que el tamaño de la muestra sea el primer número entero superior al resultado obtenido. 💡 **Tip:** El tamaño de la muestra $n$ siempre debe ser un número entero. En problemas de error máximo, siempre redondeamos al entero superior para garantizar que el error sea menor o igual al pedido. ✅ **Resultado (Tamaño de la muestra):** $$\boxed{n = 557}$$