Cálculo de áreas e integrales aplicadas a una pista de hielo

**a) Dibujar la gráfica. Calcular el volumen de agua en ($m^3$) que se necesita para llenar la pista sabiendo que la profundidad del agua es de 7 cm (0,07 metros).** Primero, identificamos la superficie de la pista. Esta superficie está limitada por las rectas verticales $x=0$ y $x=50$, la recta horizontal superior $y=45$ y la parábola $f(x) = -\frac{1}{125}x^2 + \frac{2}{5}x$. Para calcular el área de la superficie, debemos integrar la diferencia entre la función superior ($y=45$) y la función inferior ($f(x)$) en el intervalo $[0, 50]$: $$A = \int_{0}^{50} \left[ 45 - \left( -\frac{1}{125}x^2 + \frac{2}{5}x \right) \right] dx$$ Simplificamos la expresión dentro de la integral: $$A = \int_{0}^{50} \left( 45 + \frac{1}{125}x^2 - \frac{2}{5}x \right) dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas se calcula como la integral de la función 'techo' menos la función 'suelo'.

Calculamos la integral definida utilizando la regla de Barrow: $$A = \left[ 45x + \frac{1}{125} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{2}{5} \cdot \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{50} = \left[ 45x + \frac{x^3}{375} - \frac{x^2}{5} \right]_{0}^{50}$$ Evaluamos en los límites: - Para $x=50$: $$F(50) = 45(50) + \frac{50^3}{375} - \frac{50^2}{5} = 2250 + \frac{125000}{375} - \frac{2500}{5}$$ $$F(50) = 2250 + \frac{1000}{3} - 500 = 1750 + 333,33 = 2083,33 \text{ m}^2$$ - Para $x=0$: $$F(0) = 0$$ Por tanto, el área es $A = 2083,33 \text{ m}^2$ (o $\frac{6250}{3} \text{ m}^2$). Finalmente, calculamos el volumen multiplicando el área por la profundidad ($h = 0,07 \text{ m}$): $$V = A \cdot h = 2083,33 \cdot 0,07 = 145,83 \text{ m}^3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{V \approx 145,83 \text{ m}^3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el volumen de un cuerpo de sección constante es Área de la base $\times$ Altura.

**b) El consumo eléctrico mensual para mantener congelada la pista es de 28 Kwh/$m^2$. El precio del Kwh es de 0,13 €/Kwh. Calcular el coste de mantener la pista congelada durante un mes.** Para hallar el coste eléctrico, primero calculamos el consumo total de energía en Kwh multiplicando el área por el consumo unitario: $$\text{Consumo total} = \text{Área} \cdot 28 = 2083,33 \cdot 28 = 58333,33 \text{ Kwh}$$ Ahora multiplicamos este consumo por el precio del Kwh: $$\text{Coste eléctrico} = 58333,33 \cdot 0,13 = 7583,33 \text{ €}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Coste mensual congelación} = 7583,33 \text{ €}}$$

**c) Aparte del coste del consumo eléctrico, la gestión de la pista (mantenimiento, alquiler del terreno, salario de los empleados, etc.) tiene un coste fijo mensual de 5000€; hay además un coste variable debido a averías, fugas de agua, días de calor … Si se espera que acudan a patinar 600 personas al mes, calcular cuál debe ser el precio de la entrada para cubrir todos los costes mensuales, suponiendo que los costes variables alcanzan un 25% de los costes fijos de gestión.** Desglosamos los costes totales mensuales: 1. **Coste eléctrico:** $7583,33 \text{ €}$ (calculado en el apartado b). 2. **Costes fijos de gestión:** $5000 \text{ €}$. 3. **Costes variables:** $25\% \text{ de } 5000 = 0,25 \cdot 5000 = 1250 \text{ €}$. Sumamos todos los conceptos para obtener el coste total: $$\text{Coste Total} = 7583,33 + 5000 + 1250 = 13833,33 \text{ €}$$ Para cubrir este coste con 600 entradas al mes, el precio $P$ debe cumplir: $$600 \cdot P = 13833,33 \implies P = \frac{13833,33}{600} \approx 23,0555...$$ Redondeando al céntimo más cercano para asegurar que se cubren los costes: ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = 23,06 \text{ €/entrada}}$$