Inferencia estadística y media muestral

**a) ¿Cuál es la media muestral obtenida?** En un intervalo de confianza para la media, la media muestral $\bar{x}$ siempre se encuentra en el punto medio del intervalo. El intervalo dado es $[3,608, 4,392]$. Para hallar el punto medio, sumamos los extremos y dividimos entre 2: $$\bar{x} = \frac{3,608 + 4,392}{2}$$ $$\bar{x} = \frac{8}{2} = 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un intervalo de confianza para la media tiene la forma $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, por lo que $\bar{x}$ es el centro geométrico del mismo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 4 \text{ horas}}$$

**b) ¿Cuál es el nivel de confianza utilizado?** Primero, identificamos los datos conocidos: - Tamaño de la muestra: $n = 81$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = \frac{9}{5} = 1,8$ - Media muestral: $\bar{x} = 4$ Calculamos el margen de error $E$, que es la distancia desde la media hasta cualquiera de los extremos del intervalo: $$E = 4,392 - 4 = 0,392$$ O también: $$E = \frac{4,392 - 3,608}{2} = \frac{0,784}{2} = 0,392$$

La fórmula del error de estimación para la media es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos para despejar $z_{\alpha/2}$: $$0,392 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{1,8}{\sqrt{81}}$$ $$0,392 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{1,8}{9}$$ $$0,392 = z_{\alpha/2} \cdot 0,2$$ Despejamos el valor crítico: $$z_{\alpha/2} = \frac{0,392}{0,2} = 1,96$$ Buscamos en la tabla de la Normal estándar $N(0,1)$ qué probabilidad acumulada corresponde a $z = 1,96$: $$P(Z \le 1,96) = 0,975$$ Como $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$, tenemos: $$1 - \frac{\alpha}{2} = 0,975 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,025 \implies \alpha = 0,05$$ El nivel de confianza es $1 - \alpha$: $$1 - 0,05 = 0,95 \implies 95\%$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2} = 1,96$ es uno de los más comunes y siempre corresponde a un nivel de confianza del $95\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Nivel de confianza} = 95\%}$$

**c) Usando la estimación puntual de la media de horas semanales dedicadas a hacer ejercicio obtenida en el apartado a), ¿cuál es la probabilidad de que la media de horas semanales dedicadas por 16 adultos a hacer ejercicio sea mayor o igual que 4,1 horas?** Tomamos como media poblacional $\mu = 4$ y mantenemos $\sigma = 1,8$. Para una nueva muestra de tamaño $n = 16$, la distribución de las medias muestrales $\bar{X}$ sigue una normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la nueva desviación típica (error típico): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{1,8}{\sqrt{16}} = \frac{1,8}{4} = 0,45$$ Por tanto, $\bar{X} \sim N(4, \, 0,45)$.

Queremos calcular $P(\bar{X} \ge 4,1)$. Para ello, tipificamos la variable a una $Z \sim N(0,1)$: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}}$$ Sustituimos: $$P(\bar{X} \ge 4,1) = P\left(Z \ge \frac{4,1 - 4}{0,45}\right) = P\left(Z \ge \frac{0,1}{0,45}\right) = P(Z \ge 0,222...)$$ Redondeando a dos decimales para usar la tabla: $P(Z \ge 0,22)$. Utilizamos las propiedades de la probabilidad: $$P(Z \ge 0,22) = 1 - P(Z \lt 0,22)$$ Buscamos en la tabla $N(0,1)$ el valor $0,22$: $$P(Z \lt 0,22) = 0,5871$$ Calculamos el resultado final: $$P(\bar{X} \ge 4,1) = 1 - 0,5871 = 0,4129$$ 💡 **Tip:** Cuando calcules probabilidades en una normal, recuerda siempre dibujar la campana de Gauss para visualizar si el área que buscas es mayor o menor de $0,5$. Como $4,1$ está a la derecha de la media $4$, la probabilidad de ser mayor debe ser menor de $0,5$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \ge 4,1) = 0,4129}$$