Distribución de proporciones y aproximación a la normal

**a) Calcular la proporción de estudiantes partidarios del botellón en la universidad. ¿Cuál es la distribución de probabilidad aproximada de la proporción de estudiantes partidarios del botellón en las charlas?** Primero, calculamos la proporción poblacional ($p$) de estudiantes partidarios dividiendo el número de partidarios entre el total de estudiantes: $$p = \frac{13200}{20000} = 0.66$$ Para muestras de tamaño $n = 30$, la distribución de la proporción muestral $\hat{p}$ se aproxima a una distribución Normal si se cumplen las condiciones de aproximación ($np \ge 5$ y $n(1-p) \ge 5$). Comprobamos: - $30 \cdot 0.66 = 19.8 \ge 5$ - $30 \cdot 0.34 = 10.2 \ge 5$ La distribución de la proporción muestral $\hat{p}$ sigue una normal de parámetros: $$\mu_{\hat{p}} = p = 0.66$$ $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.66 \cdot 0.34}{30}} = \sqrt{\frac{0.2244}{30}} \approx 0.0865$$ 💡 **Tip:** La distribución de la proporción muestral es $N\left(p, \sqrt{\frac{pq}{n}}\right)$ cuando el tamaño de la muestra es suficiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{p = 0.66, \quad \hat{p} \sim N(0.66, 0.0865)}$$

**b) Ha comenzado una de estas charlas. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los asistentes haya más de 21 alumnos favorables al botellón?** Sea $X$ el número de alumnos favorables al botellón en una charla de $n=30$. $X$ sigue una distribución Binomial $B(30, 0.66)$. Como hemos visto que $np$ y $nq$ son mayores que 5, podemos aproximar $X$ por una distribución Normal $X'$ con: - $\mu = n \cdot p = 30 \cdot 0.66 = 19.8$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{19.8 \cdot 0.34} = \sqrt{6.732} \approx 2.5946$ Por tanto, $X \sim B(30, 0.66) \approx X' \sim N(19.8, 2.5946)$. 💡 **Tip:** Al pasar de una distribución discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates** sumando o restando $0.5$ al valor límite.

Nos piden $P(X \gt 21)$. Al aplicar la corrección de continuidad, buscamos los valores estrictamente mayores que 21, por lo que empezamos en 21.5: $$P(X \gt 21) \approx P(X' \ge 21.5)$$ Ahora tipificamos la variable $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$Z = \frac{21.5 - 19.8}{2.5946} = \frac{1.7}{2.5946} \approx 0.66$$ Calculamos la probabilidad usando la tabla de la Normal $N(0,1)$: $$P(Z \ge 0.66) = 1 - P(Z \lt 0.66) = 1 - 0.7454 = 0.2546$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 21) \approx 0.2546}$$

**c) ¿En cuántas charlas cabe esperar que haya más de 15 y menos de 19 estudiantes partidarios del botellón?** Primero calculamos la probabilidad para una charla individual: $P(15 \lt X \lt 19)$. Los valores discretos incluidos son $X=16, 17$ y $18$. Aplicando la corrección de continuidad en los extremos: $$P(15.5 \le X' \le 18.5)$$ Tipificamos ambos valores: $$Z_1 = \frac{15.5 - 19.8}{2.5946} = \frac{-4.3}{2.5946} \approx -1.66$$ $$Z_2 = \frac{18.5 - 19.8}{2.5946} = \frac{-1.3}{2.5946} \approx -0.50$$ Calculamos la probabilidad: $$P(-1.66 \le Z \le -0.50) = P(0.50 \le Z \le 1.66) = P(Z \le 1.66) - P(Z \le 0.50)$$ Consultando las tablas: $$P(Z \le 1.66) = 0.9515$$ $$P(Z \le 0.50) = 0.6915$$ $$P = 0.9515 - 0.6915 = 0.26$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de un intervalo en una normal se calcula como $P(a \lt Z \lt b) = P(Z \lt b) - P(Z \lt a)$.

Para obtener el número de charlas esperado entre las 100 organizadas, multiplicamos la probabilidad obtenida por el número total de charlas ($N = 100$): $$E = N \cdot P(15 \lt X \lt 19) = 100 \cdot 0.26 = 26$$ Esto significa que, por término medio, en 26 de las 100 charlas el número de alumnos partidarios estará en ese rango. ✅ **Resultado:** $$\boxed{26\text{ charlas}}$$