Estudio de la tasa de paro mediante una función a trozos

**a) Representar gráficamente la función. Justificando las respuestas, explicar si es continua, y determinar cuándo es creciente y cuándo es decreciente.** Primero, analizamos la continuidad en el punto de salto entre ramas, $x = 35$. Para que sea continua, los límites laterales y el valor de la función deben coincidir. 1. Valor de la función: $$f(35) = \frac{1}{625}(13(35)^2 - 1560(35) + 54300) = \frac{1}{625}(15925 - 54600 + 54300) = \frac{15625}{625} = 25$$ 2. Límite por la izquierda ($x \to 35^-$): $$\lim_{x \to 35^-} f(x) = \lim_{x \to 35^-} \frac{1}{125}(4x^2 - 80x + 1025) = \frac{1}{125}(4(35)^2 - 80(35) + 1025)$$ $$\lim_{x \to 35^-} f(x) = \frac{1}{125}(4900 - 2800 + 1025) = \frac{3125}{125} = 25$$ 3. Límite por la derecha ($x \to 35^+$): $$\lim_{x \to 35^+} f(x) = f(35) = 25$$ Como $\lim_{x \to 35^-} f(x) = \lim_{x \to 35^+} f(x) = f(35) = 25$, la función **es continua** en todo su dominio $[0, 72]$. 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si en el punto donde cambian las fórmulas los valores coinciden. Si no coincidieran, diríamos que hay un salto.

Para determinar cuándo la función crece o decrece, calculamos su derivada $f'(x)$ en cada tramo: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{125}(8x - 80) & 0 < x < 35 \\ \frac{1}{625}(26x - 1560) & 35 < x < 72 \end{cases}$$ Buscamos los puntos críticos igualando a cero: - **Rama 1:** $8x - 80 = 0 \implies x = 10$. - **Rama 2:** $26x - 1560 = 0 \implies x = 60$. Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & 0 & (0,10) & 10 & (10,35) & 35 & (35,60) & 60 & (60,72) & 72 \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & | & - & 0 & + & \\ \hline \text{Monotonía} & & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow & \min & \nearrow & \end{array}$$ - **Decreciente:** en $(0, 10) \cup (35, 60)$. - **Creciente:** en $(10, 35) \cup (60, 72)$. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Decrece: } (0, 10) \cup (35, 60); \quad \text{Crece: } (10, 35) \cup (60, 72)}$$

Utilizamos los puntos clave obtenidos (extremos de los intervalos y puntos críticos) para esbozar la gráfica: - $f(0) = 8.2$ - $f(10) = 5$ (Mínimo local) - $f(35) = 25$ (Máximo local) - $f(60) = 12$ (Mínimo local) - $f(72) = \frac{1}{625}(13(72)^2 - 1560(72) + 54300) \approx 14.99$

**b) ¿En qué trimestre alcanzó la tasa de paro su mínimo? ¿Cuándo alcanzó el máximo? ¿Cuáles fueron los valores de las tasas de paro mínima y máxima?** Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y los extremos del dominio: - $f(0) = 8.2$ - $f(10) = 5$ - $f(35) = 25$ - $f(60) = 12$ - $f(72) \approx 15$ Observando los valores: - El valor más bajo es **5**, que ocurre en el trimestre **$x=10$**. - El valor más alto es **25**, que ocurre en el trimestre **$x=35$**. ✅ **Resultado (Máximos y Mínimos):** $$\boxed{\text{Mínimo: } 5\% \text{ en el trimestre } 10; \quad \text{Máximo: } 25\% \text{ en el trimestre } 35}$$

**c) ¿En qué trimestre se superó por primera vez el 10% de paro?** Buscamos cuándo $f(x) = 10$. Según la monotonía, la función empieza en $8.2$, baja hasta $5$ en $x=10$ y luego sube. Por tanto, el 10% se alcanzará por primera vez en el tramo ascendente de la primera rama ($10 < x < 35$). Resolvemos la ecuación para la primera rama: $$\frac{1}{125}(4x^2 - 80x + 1025) = 10$$ $$4x^2 - 80x + 1025 = 1250$$ $$4x^2 - 80x - 225 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-80) \pm \sqrt{(-80)^2 - 4(4)(-225)}}{2(4)} = \frac{80 \pm \sqrt{6400 + 3600}}{8}$$ $$x = \frac{80 \pm \sqrt{10000}}{8} = \frac{80 \pm 100}{8}$$ Tenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{180}{8} = 22.5$ - $x_2 = \frac{-20}{8} = -2.5$ (No válida, fuera del dominio) El valor $x = 22.5$ indica que a mitad del trimestre 22 la tasa es exactamente el 10%. Por tanto, a partir de ese momento (dentro del trimestre **23**) ya se ha superado el 10%. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se superó por primera vez en el trimestre } 22.5 \text{ (durante el trimestre 23)}}$$