Probabilidad en clínica veterinaria. Árbol y Bayes

Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información de forma clara: **Tipo de animal:** - $P$: El animal es un perro. - $G$: El animal es un gato. - $A$: El animal es un ave. - $O$: El animal es de otro tipo. **Modo de llegada:** - $C$: El animal viene con cita previa. - $U$: El animal viene por urgencia. De los datos del enunciado extraemos las probabilidades iniciales: - $P(P) = 0.40$ - $P(G) = 0.30$ - $P(A) = 0.20$ - El resto son otros animales: $P(O) = 1 - (0.40 + 0.30 + 0.20) = 0.10$ Probabilidades condicionadas: - Perros: $P(C|P) = 0.70 \implies P(U|P) = 0.30$ - Gatos: $P(C|G) = 0.60 \implies P(U|G) = 0.40$ - Aves: $P(U|A) = 0.10 \implies P(C|A) = 0.90$ - Otros: $P(U|O) = 1 \implies P(C|O) = 0$ 💡 **Tip:** Recuerda que en cada nodo de un árbol de probabilidad, la suma de las probabilidades de las ramas que salen de él debe ser siempre $1$.

**a) Construir el árbol de probabilidades para este problema.** Representamos los datos anteriores en un diagrama de árbol para visualizar todos los caminos posibles:

Para responder al apartado b), primero necesitamos saber la probabilidad total de que un animal venga con cita previa, $P(C)$. Usamos el **Teorema de la Probabilidad Total** sumando las ramas que terminan en $C$: $$P(C) = P(P) \cdot P(C|P) + P(G) \cdot P(C|G) + P(A) \cdot P(C|A) + P(O) \cdot P(C|O)$$ $$P(C) = 0.40 \cdot 0.70 + 0.30 \cdot 0.60 + 0.20 \cdot 0.90 + 0.10 \cdot 0$$ $$P(C) = 0.28 + 0.18 + 0.18 + 0 = 0.64$$ La probabilidad de que una consulta sea con cita previa es **$0.64$**.

**b) De todos los animales que vienen con cita previa, ¿Qué porcentaje son perros?** Se nos pide la probabilidad condicionada de ser perro sabiendo que tiene cita previa, $P(P|C)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(P|C) = \frac{P(P \cap C)}{P(C)} = \frac{P(P) \cdot P(C|P)}{P(C)}$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(P|C) = \frac{0.40 \cdot 0.70}{0.64} = \frac{0.28}{0.64}$$ $$P(P|C) = 0.4375$$ Para expresar el resultado como porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.4375 \cdot 100 = 43.75\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{43.75\%}$$

**c) ¿Qué porcentaje de las consultas realizadas en la clínica son urgencias?** Buscamos $P(U)$. Como el suceso "urgencia" es el complementario de "cita previa", podemos calcularlo de forma directa y sencilla: $$P(U) = 1 - P(C)$$ $$P(U) = 1 - 0.64 = 0.36$$ También podríamos calcularlo sumando todas las ramas de urgencias del árbol: $$P(U) = P(P \cap U) + P(G \cap U) + P(A \cap U) + P(O \cap U)$$ $$P(U) = 0.12 + 0.12 + 0.02 + 0.10 = 0.36$$ Convertimos a porcentaje: $$0.36 \cdot 100 = 36\%$$ 💡 **Tip:** En problemas donde solo hay dos opciones excluyentes (Cita o Urgencia), calcular el complementario suele ser más rápido y evita errores de suma. ✅ **Resultado:** $$\boxed{36\%}$$