Aproximación de la Binomial a la Normal en Examen de Test

Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de preguntas acertadas por el opositor. Cada pregunta es un experimento independiente (ensayo de Bernoulli) con dos resultados posibles: acierto o fallo. Dado que el opositor lanza una moneda para responder: - El número de ensayos es $n = 90$. - La probabilidad de éxito (acertar) es $p = 0.5$ (cara o cruz). - La probabilidad de fracaso es $q = 1 - p = 0.5$. Por tanto, la variable $X$ sigue una **Distribución Binomial**: $$\boxed{X \sim B(90, \, 0.5)}$$ 💡 **Tip:** Identificamos una Binomial cuando tenemos un número fijo de pruebas independientes con una probabilidad de éxito constante.

Calcular probabilidades con una Binomial de $n=90$ es muy complejo. Comprobamos si podemos aproximarla por una **Distribución Normal**: 1. $n \cdot p = 90 \cdot 0.5 = 45 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 90 \cdot 0.5 = 45 \gt 5$ Como se cumplen ambas condiciones, podemos aproximar $X$ mediante una variable continua $Y \sim N(\mu, \sigma)$ donde: - Media: $\mu = n \cdot p = 45$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{90 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{22.5} \approx 4.74$ Así, trabajaremos con **$Y \sim N(45, \, 4.74)$**. 💡 **Tip:** Al pasar de una variable discreta a una continua, debemos aplicar siempre la **corrección de continuidad de Yates** sumando o restando $0.5$ a los límites del intervalo.

**a) Probabilidad de aprobar el examen.** Se aprueba si se contestan al menos 50 preguntas, es decir, $P(X \ge 50)$. Aplicando la corrección de continuidad: $$P(X \ge 50) \approx P(Y \ge 49.5)$$ Tipificamos la variable para poder usar la tabla de la Normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{Y - \mu}{\sigma}$: $$P\left(Z \ge \frac{49.5 - 45}{4.74}\right) = P(Z \ge 0.949) \approx P(Z \ge 0.95)$$ Como la tabla nos da valores para $P(Z \le k)$, usamos el suceso contrario: $$P(Z \ge 0.95) = 1 - P(Z \le 0.95)$$ Buscando en la tabla el valor para $0.95$: $$1 - 0.8289 = 0.1711$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{aprobar}) = 0.1711}$$

**b) Probabilidad de acertar más de 51 y menos de 60 preguntas.** Nos piden $P(51 \lt X \lt 60)$. En una variable discreta, esto significa que el opositor acierta entre 52 y 59 preguntas inclusive. Aplicando la corrección de continuidad en ambos extremos: - El límite inferior $52$ pasa a ser $51.5$. - El límite superior $59$ pasa a ser $59.5$. $$P(51.5 \le Y \le 59.5)$$ Tipificamos los dos valores: $$P\left(\frac{51.5 - 45}{4.74} \le Z \le \frac{59.5 - 45}{4.74}\right) = P(1.37 \le Z \le 3.06)$$ Calculamos la probabilidad como la diferencia: $$P(Z \le 3.06) - P(Z \le 1.37) = 0.9989 - 0.9147 = 0.0842$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(51 \lt X \lt 60) = 0.0842}$$

**c) Probabilidad de acertar a lo sumo 40 preguntas.** "A lo sumo 40" significa 40 o menos: $P(X \le 40)$. Aplicando la corrección de continuidad: $$P(Y \le 40.5)$$ Tipificamos: $$P\left(Z \le \frac{40.5 - 45}{4.74}\right) = P(Z \le -0.95)$$ Por la simetría de la distribución normal: $$P(Z \le -0.95) = P(Z \ge 0.95) = 1 - P(Z \le 0.95)$$ Utilizando el valor de la tabla obtenido anteriormente: $$1 - 0.8289 = 0.1711$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 40) = 0.1711}$$ 💡 **Tip:** Fíjate que la probabilidad de sacar 40 o menos es igual a la de sacar 50 o más debido a que la media es 45 y la distribución es simétrica respecto a ella ($45-5=40$ y $45+5=50$).