Estudio de costes en comunicaciones

**a) ¿Es continua $C(t)$?** Para estudiar la continuidad de la función $C(t)$ en el intervalo $[0, 10]$, analizamos las ramas y el punto de salto $t=4$. 1. **En los intervalos abiertos:** - En $(0, 4)$, $C(t) = \frac{(t - 1)^2}{3} + 4$ es una función polinómica, por lo que es continua. - En $(4, 10)$, $C(t) = \frac{18 - t}{2}$ es una función polinómica, por lo que es continua. 2. **En el punto de salto $t = 4$:** Para que sea continua en $t = 4$, deben coincidir el valor de la función y sus límites laterales: - $C(4) = \frac{(4 - 1)^2}{3} + 4 = \frac{3^2}{3} + 4 = \frac{9}{3} + 4 = 3 + 4 = 7$ - $\lim_{t \to 4^-} C(t) = \lim_{t \to 4^-} \left[ \frac{(t - 1)^2}{3} + 4 \right] = 7$ - $\lim_{t \to 4^+} C(t) = \lim_{t \to 4^+} \frac{18 - t}{2} = \frac{18 - 4}{2} = \frac{14}{2} = 7$ Como $C(4) = \lim_{t \to 4^-} C(t) = \lim_{t \to 4^+} C(t) = 7$, la función es continua en $t=4$. 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si no presenta saltos en los puntos donde cambian las ramas y si cada rama es continua en su dominio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{C(t) \text{ es continua en todo su dominio } [0, 10]}$$

**b) ¿Cuándo $C(t)$ es derivable? ¿Cuándo creció y cuándo decreció $C(t)$?** Primero calculamos la función derivada en los intervalos abiertos: $$C'(t) = \begin{cases} \frac{2}{3}(t - 1) & \text{si } 0 \lt t \lt 4 \\ -\frac{1}{2} & \text{si } 4 \lt t \lt 10 \end{cases}$$ Analizamos la derivabilidad en el punto de unión $t = 4$ mediante las derivadas laterales: - Derivada por la izquierda: $C'(4^-) = \frac{2}{3}(4 - 1) = \frac{2}{3}(3) = 2$ - Derivada por la derecha: $C'(4^+) = -\frac{1}{2}$ Como $C'(4^-) \neq C'(4^+)$ ($2 \neq -0.5$), la función **no es derivable en $t = 4$**. 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él y, además, sus derivadas laterales deben ser iguales. ✅ **Resultado (Derivabilidad):** $$\boxed{C(t) \text{ es derivable en } [0, 10] \setminus \{4\}}$$

Para estudiar el crecimiento, buscamos los puntos donde $C'(t) = 0$ y analizamos el signo de la derivada en los intervalos definidos por estos puntos y el punto donde no existe la derivada ($t=4$): 1. **Puntos críticos:** $\frac{2}{3}(t - 1) = 0 \implies t = 1$ La segunda rama $C'(t) = -1/2$ nunca es cero. 2. **Tabla de signos de $C'(t)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0,1) & 1 & (1,4) & 4 & (4,10) \\\hline C'(t) & - & 0 & + & \nexists & - \\\hline C(t) & \searrow & \min & \nearrow & \text{salto deriv.} & \searrow \end{array}$$ - En $(0, 1)$: $C'(t) \lt 0$, la función **decrece**. - En $(1, 4)$: $C'(t) \gt 0$, la función **crece**. - En $(4, 10)$: $C'(t) \lt 0$, la función **decrece**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Creciente en: } & (1, 4) \\ \text{Decreciente en: } & (0, 1) \cup (4, 10) \end{aligned}}$$

**c) ¿Cuándo alcanzó $C(t)$ el máximo y el mínimo absolutos? ¿Cuáles fueron los valores máximos y mínimos absolutos?** Para hallar los extremos absolutos en un intervalo cerrado $[0, 10]$, evaluamos la función en los extremos del intervalo, en los puntos donde la derivada es cero y en los puntos donde no es derivable: - Extremo inicial: $C(0) = \frac{(0 - 1)^2}{3} + 4 = \frac{1}{3} + 4 = \frac{13}{3} \approx 4.33$ - Punto crítico: $C(1) = \frac{(1 - 1)^2}{3} + 4 = 4$ - Punto no derivable: $C(4) = 7$ (visto en el apartado a) - Extremo final: $C(10) = \frac{18 - 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$ Comparando los valores: - El valor máximo es **7**. - El valor mínimo es **4**. Como los costes están en decenas de miles de euros: - Valor máximo: $7 \times 10.000 = 70.000$ euros. - Valor mínimo: $4 \times 10.000 = 40.000$ euros. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Máximo absoluto: } & t = 4 \text{ años con un coste de } 70.000\text{ €} \\ \text{Mínimo absoluto: } & t = 1 \text{ y } t = 10 \text{ años con un coste de } 40.000\text{ €} \end{aligned}}$$