Programación lineal: Plantación de árboles

**a) Plantear el correspondiente problema de Programación Lineal** Primero, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de plataneras a plantar. - $y$: número de naranjeros a plantar. A continuación, extraemos las restricciones del enunciado: 1. **No negatividad:** No se pueden plantar cantidades negativas: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 2. **Relación entre árboles (mínimo):** El número de plataneras no debe ser inferior a la mitad del de naranjeros: $$x \ge \frac{1}{2}y \implies 2x \ge y \implies 2x - y \ge 0$$ 3. **Relación entre árboles (máximo):** El número de plataneras no debe superar el doble del de naranjeros: $$x \le 2y \implies x - 2y \le 0$$ 4. **Presupuesto máximo:** El coste total no debe superar los 900 euros: $$5x + 2y \le 900$$ 💡 **Tip:** Lee con cuidado las expresiones "no superar" ($\le$) y "no ser inferior" ($\ge$). Es útil pasar todas las variables a un lado de la inecuación para graficarlas después.

La función objetivo representa lo que queremos maximizar, en este caso, el beneficio global. Cada platanera da 15 € y cada naranjero 8 €, por lo tanto: $$B(x, y) = 15x + 8y$$ El problema completo queda planteado como: $$\text{Maximizar } B(x, y) = 15x + 8y$$ $$\text{Sujeto a: } \begin{cases} 2x - y \ge 0 \\ x - 2y \le 0 \\ 5x + 2y \le 900 \\ x, y \ge 0 \end{cases}$$ ✅ **Resultado del planteamiento:** $$\boxed{B(x, y) = 15x + 8y; \quad 2x \ge y, \quad x \le 2y, \quad 5x + 2y \le 900, \quad x,y \ge 0}$$

**b) Representar la región factible e indicar sus vértices** Para representar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones: - $r_1: 2x - y = 0$ (pasa por $(0,0)$ y $(50, 100)$) - $r_2: x - 2y = 0$ (pasa por $(0,0)$ y $(100, 50)$) - $r_3: 5x + 2y = 900$ (pasa por $(0, 450)$ y $(180, 0)$) La región factible es el recinto cerrado delimitado por estas rectas que cumple todas las inecuaciones simultáneamente.

Los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan: 1. **Vértice A:** Intersección de $r_1$ y $r_2$. $$\begin{cases} 2x - y = 0 \\ x - 2y = 0 \end{cases} \implies A(0, 0)$$ 2. **Vértice B:** Intersección de $r_1$ ($y=2x$) y $r_3$. $$5x + 2(2x) = 900 \implies 9x = 900 \implies x = 100$$ Sustituyendo: $y = 2(100) = 200$. Luego, **$B(100, 200)$**. 3. **Vértice C:** Intersección de $r_2$ ($x=2y$) y $r_3$. $$5(2y) + 2y = 900 \implies 12y = 900 \implies y = 75$$ Sustituyendo: $x = 2(75) = 150$. Luego, **$C(150, 75)$**. 💡 **Tip:** Para hallar la intersección de dos rectas de forma rápida, despeja una variable en la más sencilla y sustituye en la otra. ✅ **Resultado (vértices):** $$\boxed{A(0,0), \quad B(100, 200), \quad C(150, 75)}$$

**c) Determinar la cantidad de plantas de cada tipo que se deben plantar para maximizar el beneficio global.** Según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal, el máximo de la función objetivo se encuentra en uno de los vértices de la región factible. Evaluamos $B(x, y) = 15x + 8y$ en cada vértice: - En $A(0, 0)$: $B(0, 0) = 15(0) + 8(0) = 0$ € - En $B(100, 200)$: $B(100, 200) = 15(100) + 8(200) = 1500 + 1600 = 3100$ € - En $C(150, 75)$: $B(150, 75) = 15(150) + 8(75) = 2250 + 600 = 2850$ € El valor máximo es 3100 €, que se alcanza en el punto $(100, 200)$. 💡 **Tip:** Siempre comprueba los cálculos aritméticos al evaluar la función objetivo, ya que un error pequeño aquí puede invalidar la respuesta final. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se deben plantar 100 plataneras y 200 naranjeros para un beneficio de 3100 €}}$$