Inferencia estadística y aproximación de la binomial a la normal

**a) Suponiendo que la variable peso es normal, calcular un intervalo de confianza al 97% para el peso medio de todos los vehículos transportados por la naviera.** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 64$ - Media muestral: $\bar{x} = 1123 \text{ kg}$ - Desviación típica poblacional (o de la muestra, al ser $n$ grande): $\sigma = 190 \text{ kg}$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$ Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$. Calculamos el nivel de significación partido por dos: $$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.03}{2} = 0.015$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$ Buscando en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$, el valor que corresponde a una probabilidad de $0.985$ es: $$z_{\alpha/2} = 2.17$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el valor exacto no aparece en la tabla, debes tomar el más cercano o realizar una interpolación. En este caso, $0.985$ aparece exactamente.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{190}{\sqrt{64}} = 2.17 \cdot \frac{190}{8} = 2.17 \cdot 23.75 = 51.5375$$ Ahora construimos el intervalo: $$IC = (1123 - 51.5375, 1123 + 51.5375) = (1071.4625, 1174.5375)$$ Redondeando a dos decimales: ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (1071.46, 1174.54)}$$

**b) ¿De qué tamaño debería ser la muestra si se desea estimar el peso medio de los vehículos con un error inferior a 20 kg y una confianza del 99%?** Datos para este apartado: - Error: $E < 20$ - Confianza: $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01$ - Desviación típica: $\sigma = 190$ Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para una confianza del 99%: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0.01}{2} = 0.995$$ En las tablas, el valor $0.995$ se encuentra entre $2.57$ y $2.58$. Usualmente se toma el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Queremos que $E < 20$: $$2.575 \cdot \frac{190}{\sqrt{n}} < 20 \implies \frac{2.575 \cdot 190}{20} < \sqrt{n}$$ $$24.4625 < \sqrt{n}$$ $$n > (24.4625)^2 = 598.414$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos siempre al alza. 💡 **Tip:** Siempre que calcules el tamaño de la muestra $n$, redondea al entero superior para garantizar que el error sea **inferior** al solicitado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \ge 599 \text{ vehículos}}$$

**c) Sabiendo que el 10% de los vehículos que viajan con la naviera son todoterrenos, ¿cuál es la probabilidad de que entre los 64 de la muestra haya más de 8 todoterrenos?** Definimos la variable aleatoria $X$: $X = \text{Número de todoterrenos en la muestra de 64 vehículos.}$ Se trata de una distribución Binomial $X \sim B(n, p)$ donde: - $n = 64$ - $p = 0.1$ (probabilidad de ser todoterreno) - $q = 1 - p = 0.9$ Comprobamos si podemos aproximar por una Normal: - $n \cdot p = 64 \cdot 0.1 = 6.4 > 5$ - $n \cdot q = 64 \cdot 0.9 = 57.6 > 5$ Se cumplen las condiciones (habitualmente $n \cdot p > 5$ y $n \cdot q > 5$ en Bachillerato), por lo que aproximamos $X$ a una variable normal $X'$: $$X \approx X' \sim N(\mu, \sigma)$$ $$\mu = n \cdot p = 6.4$$ $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{64 \cdot 0.1 \cdot 0.9} = \sqrt{5.76} = 2.4$$ Por tanto, $X' \sim N(6.4, 2.4)$.

Nos piden la probabilidad de que haya **más de 8** todoterrenos: $P(X > 8)$. Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(X > 8) = P(X \ge 9) = P(X' \ge 8.5)$$ Tipificados la variable $X'$ para usar la tabla $N(0,1)$: $$Z = \frac{X' - \mu}{\sigma} = \frac{8.5 - 6.4}{2.4} = \frac{2.1}{2.4} = 0.875$$ Calculamos la probabilidad: $$P(X' \ge 8.5) = P(Z \ge 0.875) = 1 - P(Z \le 0.875)$$ Buscamos en la tabla $N(0,1)$ el valor para $0.875$ (media entre $0.87$ y $0.88$): - $P(Z \le 0.87) = 0.8078$ - $P(Z \le 0.88) = 0.8106$ - $P(Z \le 0.875) \approx \frac{0.8078 + 0.8106}{2} = 0.8092$ Entonces: $$1 - 0.8092 = 0.1908$$ 💡 **Tip:** No olvides la corrección de continuidad. Si te piden $X > 8$ en una discreta, es lo mismo que $X \ge 9$, y al pasar a continua tomamos el límite inferior de la barra del 9, que es $8.5$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X > 8) = 0.1908}$$