Inferencia estadística: Intervalos de confianza para la proporción

**a) Con un 95% de confianza, ¿entre qué valores puede estimarse que se encontrará el nivel de abstención?** Primero, debemos identificar la proporción de la muestra que corresponde a la **abstención**. El enunciado nos da el número de personas que votan, no las que se abstienen. - Tamaño de la muestra ($n$): $2500$ - Personas que votan: $1500$ - Personas que se abstienen: $2500 - 1500 = 1000$ Calculamos la proporción muestral de abstención ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{1000}{2500} = 0,4$$ La proporción complementaria (los que votan) es: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,4 = 0,6$$ 💡 **Tip:** Lee con atención qué te pide el ejercicio. Aunque el dato sea de los votantes, la pregunta se refiere a la **abstención**, por lo que nuestra proporción de éxito es el nivel de abstención.

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: $1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05 \implies \alpha/2 = 0,025$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$. En las tablas de la normal estándar $N(0,1)$: $$z_{\alpha/2} = 1,96$$ Ahora calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ $$E = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,4 \cdot 0,6}{2500}} = 1,96 \cdot \sqrt{0,000096} \approx 1,96 \cdot 0,009798 \approx 0,0192$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza se construye sumando y restando el error a la proporción muestral: $IC = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$.

Sustituimos los valores obtenidos: $$IC = (0,4 - 0,0192; \, 0,4 + 0,0192)$$ $$IC = (0,3808; \, 0,4192)$$ Esto significa que, con una confianza del 95%, el nivel de abstención se encuentra entre el $38,08\%$ y el $41,92\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC_{95\%} = (0,3808, 0,4192)}$$

**b) ¿Cuál será el correspondiente intervalo de confianza al 98%?** Repetimos el proceso con un nivel de confianza del $98\%$: $1 - \alpha = 0,98 \implies \alpha = 0,02 \implies \alpha/2 = 0,01$ Buscamos el valor crítico tal que $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,01 = 0,99$. Consultando la tabla $N(0,1)$: $$z_{\alpha/2} = 2,33$$ Calculamos el nuevo error: $$E = 2,33 \cdot \sqrt{\frac{0,4 \cdot 0,6}{2500}} = 2,33 \cdot 0,009798 \approx 0,0228$$ Construimos el intervalo: $$IC = (0,4 - 0,0228; \, 0,4 + 0,0228)$$ $$IC = (0,3772; \, 0,4228)$$ 💡 **Tip:** Observa que al aumentar la confianza (del 95% al 98%), el intervalo se hace más ancho para tener mayor seguridad de contener el valor real. ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC_{98\%} = (0,3772, 0,4228)}$$

**c) Si se mantienen las proporciones del sondeo inicial, ¿de qué tamaño tendrá que ser la muestra para hacer dicha estimación con un error menor del 1,5% y con una confianza del 99%?** Datos requeridos: - Confianza $99\% \implies 1-\alpha = 0,99 \implies \alpha/2 = 0,005$ - Valor crítico: $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,995 \implies z_{\alpha/2} = 2,575$ - Error máximo ($E$): $1,5\% = 0,015$ - Proporciones: $\hat{p} = 0,4$ y $\hat{q} = 0,6$ La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$. Despejamos $n$: $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos: $$n = \frac{(2,575)^2 \cdot 0,4 \cdot 0,6}{(0,015)^2}$$ $$n = \frac{6,630625 \cdot 0,24}{0,000225} = \frac{1,59135}{0,000225} \approx 7072,67$$ Como buscamos un error **menor** del $1,5\%$, debemos redondear siempre al alza. 💡 **Tip:** En el cálculo de tamaños de muestra, si el resultado tiene decimales, siempre se redondea al entero superior, independientemente de si el decimal es pequeño o grande. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 7073 \text{ personas}}$$