Área entre una parábola y una recta. Problema de contexto.

**a) Hacer un dibujo de dicha superficie.** Para representar la superficie, lo primero que necesitamos es saber dónde se cortan las dos funciones: la parábola $f(x) = (x - 2)^2$ y la recta $g(x) = 2x + 4$. Igualamos ambas expresiones: $$(x - 2)^2 = 2x + 4$$ Desarrollamos el binomio al cuadrado: $$x^2 - 4x + 4 = 2x + 4$$ Simplificamos restando 4 en ambos lados y pasando todo al primer miembro: $$x^2 - 6x = 0$$ Factorizamos para hallar las raíces: $$x(x - 6) = 0$$ Esto nos da dos puntos de corte: - $x_1 = 0$ - $x_2 = 6$ Sustituimos en cualquiera de las funciones para hallar la coordenada $y$: - Si $x = 0 \implies y = 2(0) + 4 = 4 \implies \mathbf{P_1(0, 4)}$ - Si $x = 6 \implies y = 2(6) + 4 = 16 \implies \mathbf{P_2(6, 16)}$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración para el siguiente apartado y los puntos exactos donde las gráficas se cruzan.

Para dibujar la superficie: 1. **La parábola $y = (x-2)^2$**: Tiene su vértice en $(2, 0)$ y es convexa (forma de U). Pasa por $(0, 4)$ y $(6, 16)$. 2. **La recta $y = 2x + 4$**: Pasa por $(0, 4)$ y $(6, 16)$. En el intervalo $[0, 6]$, la recta está por encima de la parábola. $$\boxed{\text{Gráfico de la región entre } x=0 \text{ y } x=6}$$

**b) Si se mide en metros, calcular el área de la superficie.** El área entre dos curvas se calcula mediante la integral definida de la función superior menos la función inferior entre los puntos de corte hallados anteriormente ($x=0$ y $x=6$). Observando el gráfico, en el intervalo $[0, 6]$, la recta $g(x) = 2x + 4$ está por encima de la parábola $f(x) = (x - 2)^2$. $$A = \int_{0}^{6} [g(x) - f(x)] \, dx$$ $$A = \int_{0}^{6} [2x + 4 - (x^2 - 4x + 4)] \, dx$$ Simplificamos la expresión de dentro de la integral: $$A = \int_{0}^{6} (2x + 4 - x^2 + 4x - 4) \, dx = \int_{0}^{6} (-x^2 + 6x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Si no estás seguro de qué función va arriba, puedes calcular el valor en un punto intermedio, por ejemplo $x=1$: $g(1)=6$ y $f(1)=1$. Como $6 > 1$, la recta va arriba.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-x^2 + 6x) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{6x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + 3x^2$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** entre $0$ y $6$: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 \right]_{0}^{6}$$ $$A = \left( -\frac{6^3}{3} + 3(6^2) \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 3(0^2) \right)$$ $$A = \left( -\frac{216}{3} + 3(36) \right) - (0)$$ $$A = (-72 + 108) = 36$$ Como las medidas están en metros, el área es de $36 \text{ m}^2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = 36 \text{ m}^2}$$

**c) Si el precio del metro cuadrado de lona es igual a 4 €, ¿cuánto es necesario gastar para hacer tres toldos iguales?** Primero calculamos la superficie total necesaria para los tres toldos: $$\text{Superficie total} = 3 \cdot 36 \text{ m}^2 = 108 \text{ m}^2$$ Ahora multiplicamos la superficie total por el precio del metro cuadrado ($4 \text{ €/m}^2$): $$\text{Gasto total} = 108 \text{ m}^2 \cdot 4 \text{ €/m}^2 = 432 \text{ €}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Gasto total} = 432 \text{ €}}$$