Sistema de ecuaciones: Liquidación de pantalones

**a) Plantear el sistema de ecuaciones.** Primero, definimos las incógnitas que representan el número de pantalones de cada tipo: - $x$: número de pantalones de **tipo A** (sin defecto). - $y$: número de pantalones de **tipo B** (defecto no apreciable). - $z$: número de pantalones de **tipo C** (defecto apreciable). A continuación, calculamos el precio de cada unidad según los descuentos aplicados: - Precio de A: $20$ €. - Precio de B: Tiene una rebaja del $20\%$. Calculamos el $80\%$ del precio original: $20 \cdot 0.8 = 16$ €. - Precio de C: Tiene una rebaja del $60\%$. Calculamos el $40\%$ del precio original: $20 \cdot 0.4 = 8$ €. 💡 **Tip:** Recuerda que aplicar una rebaja del $r\%$ es equivalente a multiplicar por $(1 - r/100)$. Por ejemplo, una rebaja del $20\%$ es multiplicar por $0.8$.

Utilizamos los datos del enunciado para establecer las tres ecuaciones: 1. **Total de pantalones:** Hay 70 pantalones en total. $$x + y + z = 70$$ 2. **Precio total:** El valor total es de 1280 euros. $$20x + 16y + 8z = 1280$$ 3. **Relación entre defectuosos y no defectuosos:** Los pantalones con defecto ($y$ y $z$) son el $40\%$ de los que no tienen defecto ($x$). $$y + z = 0.4x$$ Ordenando la última ecuación para tener las variables en un lado: $$0.4x - y - z = 0$$ ✅ **El sistema resultante es:** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 70 \\ 20x + 16y + 8z = 1280 \\ 0.4x - y - z = 0 \end{cases}}$$

**b) Resolver correctamente.** Para resolver el sistema, observamos que en la primera y tercera ecuación aparecen los términos $(y + z)$. De la ecuación (3) sabemos que $y + z = 0.4x$. Sustituimos este valor en la ecuación (1): $$x + (0.4x) = 70$$ $$1.4x = 70$$ $$x = \frac{70}{1.4} = 50$$ Ahora que conocemos $x = 50$, lo sustituimos en la ecuación (3) para obtener la suma de $y$ y $z$: $$y + z = 0.4(50) = 20$$ Sustituimos $x = 50$ en la ecuación (2) y simplificamos: $$20(50) + 16y + 8z = 1280$$ $$1000 + 16y + 8z = 1280$$ $$16y + 8z = 280$$ Podemos simplificar esta ecuación dividiendo todos sus términos por $8$: $$2y + z = 35$$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones dividiendo por un factor común facilita mucho los cálculos posteriores y evita errores con números grandes.

Ahora tenemos un sistema reducido de dos ecuaciones con dos incógnitas: 1) $y + z = 20$ 2) $2y + z = 35$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar la $z$: $$(2y + z) - (y + z) = 35 - 20$$ $$y = 15$$ Sustituimos $y = 15$ en la ecuación $y + z = 20$: $$15 + z = 20 \implies z = 5$$ ✅ **Las soluciones son:** $$\boxed{x = 50, \quad y = 15, \quad z = 5}$$

**c) ¿Cuántos pantalones hay de cada clase?** Tras resolver el sistema, concluimos el número de pantalones por tipo: - Pantalones de **tipo A** (sin defecto): **50 unidades**. - Pantalones de **tipo B** (defecto no apreciable): **15 unidades**. - Pantalones de **tipo C** (defecto apreciable): **5 unidades**. 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar que los resultados suman el total (50+15+5=70) y que cumplen la condición del precio: $50\cdot20 + 15\cdot16 + 5\cdot8 = 1000 + 240 + 40 = 1280$ €. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Hay 50 de tipo A, 15 de tipo B y 5 de tipo C}}$$