Invertibilidad de una matriz con parámetros y resolución de ecuación matricial

**a) Calcule los valores del parámetro real $a$ para los cuales la matriz $A$ tiene inversa.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & -a & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [a \cdot 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) \cdot (-a)] - [0 \cdot 2 \cdot 1 + (-a) \cdot 0 \cdot a + (-1) \cdot (-1) \cdot 1]$$ $$|A| = [-2a + 0 + a] - [0 + 0 + 1]$$ $$|A| = -a - 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es invertible (o regular) si su determinante es no nulo. Si el determinante es cero, la matriz se llama singular.

Para que la matriz tenga inversa, imponemos la condición $|A| \neq 0$: $$-a - 1 \neq 0 \implies -a \neq 1 \implies a \neq -1$$ Por tanto, la matriz $A$ tiene inversa para cualquier valor real de $a$ excepto para $a = -1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } A^{-1} \text{ para todo } a \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}}$$

**b) Para $a = 2$ calcule, si existe, la matriz $X$ que satisface $AX = B$.** Primero comprobamos si existe inversa para $a = 2$. Como $2 \neq -1$, la matriz $A$ es invertible. El valor de su determinante es: $$|A| = -2 - 1 = -3$$ Para despejar $X$ en la ecuación $AX = B$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ en ambos miembros: $$A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot B$$ $$I \cdot X = A^{-1} \cdot B$$ $$X = A^{-1} \cdot B$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden del producto es fundamental. Si multiplicas por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro ($A^{-1}B \neq BA^{-1}$).

Para $a = 2$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}$. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(1) = -1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 2$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 + 2) = -1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -(-4) = 4$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -(1) = -1$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 + 1 = 5$ La matriz adjunta es $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 2 \\ -1 & -2 & 4 \\ -2 & -1 & 5 \end{pmatrix}$. La matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^T$: $$A^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & -1 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}$$

Ahora calculamos $X = A^{-1} \cdot B$: $$X = -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & -1 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ $$X = -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} (-2)(-2) + (-1)(1) + (-2)(-1) \\ (-1)(-2) + (-2)(1) + (-1)(-1) \\ (2)(-2) + (4)(1) + (5)(-1) \end{pmatrix}$$ $$X = -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 - 1 + 2 \\ 2 - 2 + 1 \\ -4 + 4 - 5 \end{pmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}$$ Operando el escalar: $$X = \begin{pmatrix} -5/3 \\ -1/3 \\ 5/3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -\frac{5}{3} \\ -\frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix}}$$