Optimización de producción de cables de fibra óptica

**a) Represente la región factible y calcule las coordenadas de sus vértices.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de metros de cable del modelo A2020. - $y$: número de metros de cable del modelo B2020. A partir del enunciado, extraemos las restricciones que limitan la producción: 1. Necesitan al menos 6000 metros en total: $x + y \ge 6000$. 2. Del modelo B2020 no podrán fabricarse más de 5000 metros: $y \le 5000$. 3. No es posible fabricar más de 8000 metros entre los dos: $x + y \le 8000$. 4. La cantidad de B2020 debe ser mayor o igual a la de A2020: $y \ge x$. 5. Por la naturaleza del problema, las cantidades no pueden ser negativas: $x \ge 0, y \ge 0$. 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, siempre es fundamental identificar primero las variables y luego traducir cada frase del enunciado a una desigualdad matemática.

Para hallar los vértices, calculamos los puntos de corte de las rectas que limitan la región. Llamamos a las rectas: - $r_1: x + y = 6000$ - $r_2: y = 5000$ - $r_3: x + y = 8000$ - $r_4: y = x$ Calculamos las intersecciones: - **Vértice A** (Intersección de $r_1$ y $r_4$): $\begin{cases} x + y = 6000 \\ y = x \end{cases} \implies x + x = 6000 \implies 2x = 6000 \implies x = 3000, y = 3000 \implies \mathbf{A(3000, 3000)}$ - **Vértice B** (Intersección de $r_1$ y $r_2$): $\begin{cases} x + y = 6000 \\ y = 5000 \end{cases} \implies x + 5000 = 6000 \implies x = 1000, y = 5000 \implies \mathbf{B(1000, 5000)}$ - **Vértice C** (Intersección de $r_2$ y $r_3$): $\begin{cases} y = 5000 \\ x + y = 8000 \end{cases} \implies x + 5000 = 8000 \implies x = 3000, y = 5000 \implies \mathbf{C(3000, 5000)}$ - **Vértice D** (Intersección de $r_3$ y $r_4$): $\begin{cases} x + y = 8000 \\ y = x \end{cases} \implies 2x = 8000 \implies x = 4000, y = 4000 \implies \mathbf{D(4000, 4000)}$ ✅ **Vértices de la región:** $$\boxed{A(3000, 3000), B(1000, 5000), C(3000, 5000), D(4000, 4000)}$$

Representamos las rectas en el plano y sombreamos la zona que cumple todas las desigualdades simultáneamente. El polígono formado por los vértices calculados es la región factible.

**b) Determine el número de metros que deben producirse de cada uno de los modelos para minimizar el coste.** La función objetivo que queremos minimizar es el coste total de producción: $$f(x, y) = 2x + 0,5y$$ Evaluamos la función en cada uno de los vértices de la región factible para encontrar el valor mínimo: - $f(A) = f(3000, 3000) = 2(3000) + 0,5(3000) = 6000 + 1500 = 7500$ euros. - $f(B) = f(1000, 5000) = 2(1000) + 0,5(5000) = 2000 + 2500 = 4500$ euros. - $f(C) = f(3000, 5000) = 2(3000) + 0,5(5000) = 6000 + 2500 = 8500$ euros. - $f(D) = f(4000, 4000) = 2(4000) + 0,5(4000) = 8000 + 2000 = 10000$ euros. Comparando los resultados, el coste mínimo se alcanza en el vértice $B(1000, 5000)$. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal nos asegura que el máximo o mínimo de la función objetivo se encuentra siempre en uno de los vértices (o en un segmento que los une).

Para minimizar el coste de producción, la empresa debe fabricar: - **1000 metros** del modelo **A2020**. - **5000 metros** del modelo **B2020**. El coste mínimo total será de **4500 euros**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{1000 m de A2020 y 5000 m de B2020}}$$