Continuidad, derivabilidad y recta tangente de una función a trozos

**a) Determine el valor del parámetro real $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio. ¿Para ese valor de $a$ es $f(x)$ derivable?** Primero, analizamos la continuidad en los intervalos abiertos: - Para $x < 3$, $f(x) = x^2 - x - 1$ es una función polinómica, por lo que es continua en toda la recta real. - Para $x > 3$, $f(x) = \frac{3a}{x}$ es una función racional cuyo único punto de discontinuidad es $x = 0$. Como estamos en el intervalo $x > 3$, la función es continua en esta rama. Para que $f(x)$ sea continua en todo su dominio, debe ser continua en el salto entre ramas, es decir, en $x = 3$. Se deben cumplir tres condiciones: 1. Existe $f(3)$: $$f(3) = 3^2 - 3 - 1 = 9 - 3 - 1 = 5$$ 2. Existe el límite cuando $x \to 3$ (los límites laterales deben ser iguales): - Límite por la izquierda ($x \to 3^-$): $$\lim_{x \to 3^-} (x^2 - x - 1) = 3^2 - 3 - 1 = 5$$ - Límite por la derecha ($x \to 3^+$): $$\lim_{x \to 3^+} \frac{3a}{x} = \frac{3a}{3} = a$$ Para que el límite exista: $5 = a$. 3. El valor de la función coincide con el límite: $f(3) = \lim_{x \to 3} f(x) = 5$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en un punto, el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función en ese punto deben ser idénticos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 5}$$

Para $a = 5$, la función es: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - x - 1 & \text{si } x \le 3 \\ \frac{15}{x} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$ Para estudiar la derivabilidad en $x = 3$, calculamos las derivadas laterales. Primero derivamos cada rama: - Si $x < 3$: $f'(x) = 2x - 1$ - Si $x > 3$: $f'(x) = -\frac{15}{x^2}$ Ahora evaluamos en $x = 3$: - Derivada por la izquierda: $$f'(3^-) = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$$ - Derivada por la derecha: $$f'(3^+) = -\frac{15}{3^2} = -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3}$$ Como $f'(3^-) \neq f'(3^+)$ (ya que $5 \neq -\frac{5}{3}$), la función **no es derivable** en $x = 3$. 💡 **Tip:** Una función solo puede ser derivable en un punto si primero es continua en él. Si es continua, las derivadas laterales deben coincidir para que sea derivable. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Para } a=5, \text{ la función } f(x) \text{ no es derivable en } x=3}$$

**b) Para $a = 1$, calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 1$.** Para $a = 1$, la función en el entorno de $x = 1$ (ya que $1 \le 3$) es: $$f(x) = x^2 - x - 1$$ Necesitamos dos datos para la recta tangente: 1. **El punto de tangencia $(x_0, f(x_0))$:** Para $x_0 = 1$: $$f(1) = 1^2 - 1 - 1 = -1$$ El punto es $(1, -1)$. 2. **La pendiente de la tangente ($m = f'(x_0)$):** Calculamos la derivada de la rama correspondiente: $$f'(x) = 2x - 1$$ Evaluamos en $x = 1$: $$m = f'(1) = 2(1) - 1 = 1$$ 💡 **Tip:** Siempre verifica en qué rama de la función cae el punto solicitado. Como $1 \le 3$, usamos la rama de la parábola.

Utilizamos la ecuación de la recta en forma punto-pendiente: $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$ Sustituimos los valores obtenidos ($x_0 = 1, f(1) = -1, f'(1) = 1$): $$y - (-1) = 1(x - 1)$$ $$y + 1 = x - 1$$ Despejamos la $y$ para obtener la ecuación explícita: $$y = x - 1 - 1$$ $$y = x - 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = x - 2}$$