Independencia de sucesos y probabilidad condicionada

Para resolver ambos apartados, primero necesitamos conocer las probabilidades de los sucesos $A$, $B$ y su intersección $A \cap B$. 1. **Probabilidad de $B$:** Como nos dan la probabilidad del suceso contrario $\bar{B}$, usamos la propiedad del suceso complementario: $$P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - 0,8 = 0,2$$ 2. **Probabilidad de la intersección $A \cap B$:** El enunciado nos da $P(\bar{A} \cup ar{B}) = 0,9$. Aplicando las **Leyes de De Morgan**, sabemos que $\bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B}$. Por tanto: $$P(\overline{A \cap B}) = 0,9 \implies P(A \cap B) = 1 - P(\overline{A \cap B}) = 1 - 0,9 = 0,1$$ 💡 **Tip:** Recuerda las Leyes de De Morgan: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios ($\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap ar{B}$) y el complementario de la intersección es la unión de los complementarios ($\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup ar{B}$). $$\boxed{P(A)=0,5; \quad P(B)=0,2; \quad P(A \cap B)=0,1}$$

**a) Estudie si los sucesos $A$ y $B$ son independientes.** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades individuales: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de las probabilidades: $$P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot 0,2 = 0,10$$ Comparamos con el valor de la intersección que hallamos en el paso anterior: $$P(A \cap B) = 0,1$$ Como $0,1 = 0,1$, se cumple la igualdad. 💡 **Tip:** Si $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$, entonces los sucesos se denominan dependientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos } A \text{ y } B \text{ son independientes}}$$

**b) Calcule $P(ar{A}|B)$.** Podemos resolver este apartado de dos formas gracias a lo que hemos descubierto en el apartado anterior. **Método 1: Usando la definición de probabilidad condicionada** $$P(\bar{A}|B) = \frac{P(\bar{A} \cap B)}{P(B)}$$ Primero hallamos $P(\bar{A} \cap B)$. Sabemos que $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$, por lo que: $$P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0,2 - 0,1 = 0,1$$ Ahora sustituimos en la fórmula: $$P(\bar{A}|B) = \frac{0,1}{0,2} = 0,5$$ **Método 2: Usando la propiedad de independencia** Si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, entonces sus complementarios también lo son respecto al otro suceso. Esto significa que la ocurrencia de $B$ no afecta a la probabilidad de $A$ ni de $\bar{A}$: $$P(\bar{A}|B) = P(\bar{A})$$ $$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,5 = 0,5$$ 💡 **Tip:** En un examen, si ya has demostrado la independencia en el apartado (a), usar el Método 2 es mucho más rápido y demuestra dominio de la teoría. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A}|B) = 0,5}$$