Inferencia estadística: Intervalo de confianza y probabilidad de la media muestral

**a) Se toma una muestra aleatoria simple de 20 huevos, obteniéndose una media muestral de 60 gramos. Determine un intervalo de confianza al 95 % para $\mu$.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$ (peso de los huevos en gramos): - Distribución: $X \sim N(\mu, 8)$ - Tamaño de la muestra: $n = 20$ - Media muestral: $\bar{x} = 60$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$ Para construir el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(-z_{\alpha/2} \le Z \le z_{\alpha/2}) = 0,95$. Calculamos $\alpha$: $$1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,025$$ Buscamos en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$ el valor cuya probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$$ Mirando las tablas, obtenemos que: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son para el 90% (1,645), 95% (1,96) y 99% (2,575).

El error máximo permitido viene dado por la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 1,96 \cdot \frac{8}{\sqrt{20}} = 1,96 \cdot \frac{8}{4,4721} \approx 1,96 \cdot 1,7889 = 3,5062$$ El intervalo de confianza se define como $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$. Calculamos los extremos: - Límite inferior: $60 - 3,5062 = 56,4938$ - Límite superior: $60 + 3,5062 = 63,5062$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (56,4938, \, 63,5062)}$$

**b) Suponga que $\mu = 59$ gramos. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 10 huevos, la media muestral, $\bar{X}$, esté comprendida entre 57 y 61 gramos.** En este apartado nos dan un valor fijo para $\mu = 59$ y un nuevo tamaño de muestra $n = 10$. Sabemos que si la población original es normal $N(\mu, \sigma)$, la distribución de las medias muestrales $\bar{X}$ es: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Sustituimos los valores: - Media: $\mu = 59$ - Desviación típica de la media muestral: $\sigma_{\bar{x}} = \frac{8}{\sqrt{10}} \approx \frac{8}{3,1623} = 2,5298$ Por tanto, la variable a estudiar es: $$\bar{X} \sim N(59, \, 2,5298)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la desviación típica de la media muestral siempre es menor que la de la población original porque se divide por $\sqrt{n}$.

Queremos calcular la probabilidad $P(57 \le \bar{X} \le 61)$. Para ello, debemos tipificar la variable (convertirla a una $Z \sim N(0, 1)$) usando la fórmula $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$. $$P(57 \le \bar{X} \le 61) = P\left(\frac{57 - 59}{2,5298} \le Z \le \frac{61 - 59}{2,5298}\right)$$ $$= P\left(\frac{-2}{2,5298} \le Z \le \frac{2}{2,5298}\right) \approx P(-0,79 \le Z \le 0,79)$$ Utilizamos las propiedades de simetría de la curva normal: $$P(-0,79 \le Z \le 0,79) = P(Z \le 0,79) - P(Z \le -0,79)$$ $$= P(Z \le 0,79) - (1 - P(Z \le 0,79)) = 2 \cdot P(Z \le 0,79) - 1$$ Buscamos en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor para $0,79$: $$P(Z \le 0,79) = 0,7852$$ Calculamos el resultado final: $$2 \cdot 0,7852 - 1 = 1,5704 - 1 = 0,5704$$ ✅ **Resultado (Probabilidad):** $$\boxed{P(57 \le \bar{X} \le 61) = 0,5704}$$