Estudio de una función racional: asíntotas y monotonía

**a) Calcule el dominio y las asíntotas de $f(x)$.** Para calcular el dominio de una función racional, debemos identificar los valores que anulan el denominador, ya que la división por cero no está definida. Resolvemos la ecuación del denominador: $$(x - 1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$$ El dominio de la función es todo el conjunto de los números reales excepto el punto donde el denominador es cero. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que no pertenecen al dominio. Estudiamos el comportamiento de la función cuando $x$ se acerca a $1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 2x^2}{(x - 1)^2} = \frac{1^3 - 2(1)^2}{(1 - 1)^2} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$$ Como el límite es infinito, confirmamos que existe una asíntota vertical. 💡 **Tip:** Si el límite de una función en un punto $a$ es $\pm\infty$, entonces $x=a$ es una asíntota vertical. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = 1}$$

**Asíntotas Horizontales:** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 2x^2}{(x - 1)^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 2x^2}{x^2 - 2x + 1} = \pm\infty$$ Como el límite es infinito, **no existen asíntotas horizontales**. **Asíntotas Oblicuas:** Al ser una función racional donde el grado del numerador ($3$) es exactamente uno más que el grado del denominador ($2$), existe una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$. Calculamos $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 2x^2}{x(x - 1)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 2x^2}{x^3 - 2x^2 + x} = 1$$ Calculamos $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3 - 2x^2}{(x - 1)^2} - x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 2x^2 - x(x^2 - 2x + 1)}{(x - 1)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 2x^2 - x^3 + 2x^2 - x}{(x - 1)^2}$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{x^2 - 2x + 1} = 0$$ ✅ **Resultado (Asíntota Oblicua):** $$\boxed{y = x}$$

**b) Determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada de la función utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(3x^2 - 4x)(x - 1)^2 - (x^3 - 2x^2) \cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^4}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $(x - 1)$: $$f'(x) = \frac{(3x^2 - 4x)(x - 1) - 2(x^3 - 2x^2)}{(x - 1)^3}$$ $$f'(x) = \frac{3x^3 - 3x^2 - 4x^2 + 4x - 2x^3 + 4x^2}{(x - 1)^3}$$ $$f'(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 4x}{(x - 1)^3} = \frac{x(x^2 - 3x + 4)}{(x - 1)^3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar $\frac{u}{v}$ usamos $\frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$\frac{x(x^2 - 3x + 4)}{(x - 1)^3} = 0 \implies x(x^2 - 3x + 4) = 0$$ Esto nos da la solución $x = 0$. Para el factor $x^2 - 3x + 4$, calculamos el discriminante: $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$. Como $\Delta \lt 0$, este factor no tiene raíces reales y siempre es positivo. Los puntos que dividen la recta real para estudiar el signo de $f'(x)$ son $x = 0$ (punto crítico) y $x = 1$ (discontinuidad). $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline x & - & 0 & + & | & + \\ x^2 - 3x + 4 & + & + & + & | & + \\ (x-1)^3 & - & - & - & | & + \\\hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & + \\ \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \nearrow \end{array}$$ Interpretación: - En $(-\infty, 0)$ y $(1, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. - En $(0, 1)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. ✅ **Resultado (Intervalos de monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Creciente: } & (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) \\ \text{Decreciente: } & (0, 1) \end{aligned}}$$