Cálculo de una primitiva y determinación de extremos locales

**a) Determine la expresión de $f(x)$ sabiendo que $f(1) = 11$.** Para obtener la función $f(x)$ a partir de su derivada $f'(x)$, debemos realizar la integral indefinida: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (3x^2 + 8x) \, dx$$ Aplicamos las reglas básicas de integración (la integral de una suma es la suma de las integrales y la regla de la potencia $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$): $$f(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 8 \cdot \frac{x^2}{2} + C$$ Simplificando los coeficientes: $$f(x) = x^3 + 4x^2 + C$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca sumar la constante de integración $C$ al calcular una integral indefinida, ya que existen infinitas funciones que tienen la misma derivada.

Utilizamos el dato $f(1) = 11$ para hallar el valor específico de la constante $C$. Sustituimos $x = 1$ en la expresión de $f(x)$ e igualamos a $11$: $$1^3 + 4(1)^2 + C = 11$$ $$1 + 4 + C = 11$$ $$5 + C = 11 \implies C = 11 - 5 = 6$$ Por lo tanto, la expresión de la función es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) = x^3 + 4x^2 + 6}$$

**b) Determine los máximos y mínimos locales de $f(x)$, si los hubiera.** Los máximos y mínimos locales (extremos relativos) se encuentran entre los puntos donde la primera derivada es igual a cero ($f'(x) = 0$). Resolvemos la ecuación: $$3x^2 + 8x = 0$$ Factorizamos la $x$: $$x(3x + 8) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $x = 0$ 2. $3x + 8 = 0 \implies 3x = -8 \implies x = -\frac{8}{3} \approx -2.67$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos son candidatos a ser extremos. Para confirmar si son máximos o mínimos, estudiaremos el signo de la derivada a su alrededor.

Dividimos la recta real en intervalos definidos por nuestros puntos críticos: $(-\infty, -8/3)$, $(-8/3, 0)$ y $(0, +\infty)$. Evaluamos el signo de $f'(x) = x(3x+8)$ en cada intervalo: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -8/3) & -8/3 & (-8/3, 0) & 0 & (0, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Función} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -8/3)$, tomamos $x = -3$: $f'(-3) = 3(-3)^2 + 8(-3) = 27 - 24 = 3 \gt 0$ (**creciente**). - En $(-8/3, 0)$, tomamos $x = -1$: $f'(-1) = 3(-1)^2 + 8(-1) = 3 - 8 = -5 \lt 0$ (**decreciente**). - En $(0, +\infty)$, tomamos $x = 1$: $f'(1) = 3(1)^2 + 8(1) = 11 \gt 0$ (**creciente**). Como la función pasa de crecer a decrecer en $x = -8/3$, hay un **máximo local**. Como pasa de decrecer a crecer en $x = 0$, hay un **mínimo local**.

Para dar el punto completo $(x, y)$, sustituimos los valores de $x$ en la función original $f(x) = x^3 + 4x^2 + 6$: - **Para el mínimo ($x = 0$):** $$f(0) = 0^3 + 4(0)^2 + 6 = 6 \implies \text{Mínimo en } (0, 6)$$ - **Para el máximo ($x = -8/3$):** $$f\left(-\frac{8}{3}\right) = \left(-\frac{8}{3}\right)^3 + 4\left(-\frac{8}{3}\right)^2 + 6 = -\frac{512}{27} + 4\left(\frac{64}{9}\right) + 6$$ $$f\left(-\frac{8}{3}\right) = -\frac{512}{27} + \frac{256}{9} + 6 = \frac{-512 + 768 + 162}{27} = \frac{418}{27} \approx 15.48$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo local en } \left(-\frac{8}{3}, \frac{418}{27}\right) \quad \text{Mínimo local en } (0, 6)}$$