Probabilidad de fracaso escolar según municipio

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales: - $A$: El alumno reside en el municipio A. - $B$: El alumno reside en el municipio B. - $F$: El alumno sufre fracaso escolar. - $\bar{F}$: El alumno no sufre fracaso escolar. El enunciado nos indica que el número de alumnos en A es el doble que en B. Si llamamos $P(B) = p$, entonces $P(A) = 2p$. Como la suma de probabilidades de vivir en un municipio u otro debe ser $1$: $$P(A) + P(B) = 1 \implies 2p + p = 1 \implies 3p = 1 \implies p = \frac{1}{3}$$ Por tanto: $$P(A) = \frac{2}{3}, \quad P(B) = \frac{1}{3}$$ Además, nos dan las probabilidades condicionadas de fracaso: - $P(F|A) = 0,02$ - $P(F|B) = 0,06$ 💡 **Tip:** Siempre es útil definir claramente los sucesos y sus probabilidades asociadas antes de aplicar fórmulas complejas.

Visualizamos la situación mediante un diagrama de árbol para facilitar los cálculos de las probabilidades compuestas:

**a) No sufra fracaso escolar.** Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total** para calcular $P(\bar{F})$, sumando las probabilidades de no tener fracaso escolar en ambos municipios: $$P(\bar{F}) = P(A) \cdot P(\bar{F}|A) + P(B) \cdot P(\bar{F}|B)$$ Primero obtenemos las probabilidades de no fracaso complementarias: - $P(\bar{F}|A) = 1 - P(F|A) = 1 - 0,02 = 0,98$ - $P(\bar{F}|B) = 1 - P(F|B) = 1 - 0,06 = 0,94$ Sustituimos en la fórmula: $$P(\bar{F}) = \left(\frac{2}{3}\right) \cdot 0,98 + \left(\frac{1}{3}\right) \cdot 0,94$$ $$P(\bar{F}) = \frac{1,96}{3} + \frac{0,94}{3} = \frac{2,9}{3} \approx 0,9667$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{F}) = \frac{29}{30} \approx 0,9667}$$

**b) Sea del municipio A si se sabe que ha sufrido fracaso escolar.** Nos piden una probabilidad condicionada $P(A|F)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|F) = \frac{P(A \cap F)}{P(F)} = \frac{P(A) \cdot P(F|A)}{P(F)}$$ Calculamos primero $P(F)$ usando el suceso complementario obtenido en el apartado anterior: $$P(F) = 1 - P(\bar{F}) = 1 - \frac{2,9}{3} = \frac{3 - 2,9}{3} = \frac{0,1}{3}$$ Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (residir en A y fracasar): $$P(A \cap F) = P(A) \cdot P(F|A) = \frac{2}{3} \cdot 0,02 = \frac{0,04}{3}$$ Finalmente, aplicamos Bayes: $$P(A|F) = \frac{\frac{0,04}{3}}{\frac{0,1}{3}} = \frac{0,04}{0,1} = 0,4$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para 'invertir' la condicionalidad. Si conocemos $P(F|A)$ y queremos $P(A|F)$, Bayes es el camino. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|F) = 0,4}$$ *(Nota: También se puede expresar como $\frac{2}{5}$)*