Estimación de la media y distribución de la media muestral

**a) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ sea menor de 1 minuto con un nivel de confianza del 95 %.** Primero, identificamos los datos del problema: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 3$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$. - Error máximo admisible: $E \lt 1$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 95 % de confianza: 1. $\alpha = 1 - 0,95 = 0,05$. 2. $\alpha/2 = 0,025$. 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$. Mirando en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$, encontramos que para una probabilidad de $0,975$, el valor es: $$z_{\alpha/2} = 1,96.$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son: para 90% $\to 1,645$; para 95% $\to 1,96$; para 99% $\to 2,575$.

La fórmula del error máximo para la estimación de la media es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que $E \lt 1$, por lo tanto: $$1,96 \cdot \frac{3}{\sqrt{n}} \lt 1$$ Despejamos $n$: $$1,96 \cdot 3 \lt \sqrt{n}$$ $$5,88 \lt \sqrt{n}$$ $$(5,88)^2 \lt n$$ $$34,5744 \lt n$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero, debemos redondear siempre al entero superior para garantizar que el error sea menor al solicitado. $$\boxed{n = 35}$$ ✅ **Resultado:** El tamaño mínimo de la muestra debe ser de 35 pruebas.

**b) Suponga que $\mu = 32$ minutos. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de tamaño $n = 16$ pruebas, el tiempo medio empleado en su realización, $\bar{X}$, sea menor que 30,5 minutos.** Sabemos que la variable original sigue una normal $X \sim N(\mu, \sigma) = N(32, 3)$. Cuando tomamos muestras de tamaño $n$, la media muestral $\bar{X}$ sigue también una distribución normal con la misma media pero con una desviación típica (error estándar) reducida: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Sustituimos los valores dados ($n=16$): $$\bar{X} \sim N\left(32, \frac{3}{\sqrt{16}}\right) = N\left(32, \frac{3}{4}\right) = N(32; 0,75)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la variabilidad de las medias de las muestras es siempre menor que la variabilidad de los datos individuales.

Nos piden calcular $p(\bar{X} \lt 30,5)$. Para ello, tipificamos la variable para poder usar la tabla $N(0,1)$: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{30,5 - 32}{0,75}$$ Calculamos el valor de $Z$: $$Z = \frac{-1,5}{0,75} = -2$$ Entonces: $$p(\bar{X} \lt 30,5) = p(Z \lt -2)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$p(Z \lt -2) = p(Z \gt 2) = 1 - p(Z \le 2)$$ Buscamos en la tabla el valor para $z = 2,00$: $$p(Z \le 2,00) = 0,9772$$ Calculamos la probabilidad final: $$p(\bar{X} \lt 30,5) = 1 - 0,9772 = 0,0228$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{p(\bar{X} \lt 30,5) = 0,0228}$$