Matriz con parámetros e inversa

**a) Determine los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para los que $A = A^{-1}$.** Para que una matriz sea igual a su inversa, se debe cumplir que el producto de la matriz por sí misma sea la matriz identidad $I$. Es decir: $$A = A^{-1} \iff A \cdot A = I$$ Calculamos primero el producto $A^2$: $$A^2 = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 0 & b & 0 \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 0 & b & 0 \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación fila por columna: - Elemento (1,1): $a \cdot a + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = a^2 + 1$ - Elemento (1,2): $a \cdot 0 + 0 \cdot b + 1 \cdot 0 = 0$ - Elemento (1,3): $a \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot a = 2a$ - Elemento (2,2): $0 \cdot 0 + b \cdot b + 0 \cdot 0 = b^2$ - Elemento (3,1): $1 \cdot a + 0 \cdot 0 + a \cdot 1 = 2a$ - Elemento (3,3): $1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + a \cdot a = a^2 + 1$ Obtenemos: $$A^2 = \begin{pmatrix} a^2 + 1 & 0 & 2a \\ 0 & b^2 & 0 \\ 2a & 0 & a^2 + 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la matriz identidad $I$ de orden 3 es $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Igualamos la matriz resultante $A^2$ a la matriz identidad $I$: $$\begin{pmatrix} a^2 + 1 & 0 & 2a \\ 0 & b^2 & 0 \\ 2a & 0 & a^2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ De la igualdad de matrices extraemos las siguientes ecuaciones: 1. $a^2 + 1 = 1 \implies a^2 = 0 \implies \mathbf{a = 0}$ 2. $2a = 0 \implies \mathbf{a = 0}$ 3. $b^2 = 1 \implies \mathbf{b = 1}$ o $\mathbf{b = -1}$ Por tanto, existen dos combinaciones de valores posibles. ✅ **Resultado (valores de a y b):** $$\boxed{a = 0, b = 1 \quad \text{o} \quad a = 0, b = -1}$$

**b) Para $a = b = 2$, calcule la matriz inversa de $A$.** Sustituimos los valores en la matriz: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante $|A|$ para asegurar que existe la inversa (debe ser $\neq 0$): $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la segunda fila (ya que tiene dos ceros): $$|A| = 2 \cdot (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (4 - 1) = 2 \cdot 3 = 6$$ Como $|A| = 6 \neq 0$, la matriz **tiene inversa**. 💡 **Tip:** Si no quieres desarrollar por una fila, puedes usar la regla de Sarrus: $(2\cdot2\cdot2 + 0\cdot0\cdot1 + 0\cdot0\cdot1) - (1\cdot2\cdot1 + 0\cdot0\cdot2 + 0\cdot0\cdot2) = 8 - 2 = 6$.

Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$. Para cada elemento, eliminamos su fila y su columna y calculamos el determinante del menor restante, aplicando el signo $(-1)^{i+j}$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 4$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 4$ La matriz adjunta es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$ Como la matriz es simétrica, $(Adj(A))^T = Adj(A)$.

Aplicamos la fórmula de la inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^T$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/6 & 0 & -2/6 \\ 0 & 3/6 & 0 \\ -2/6 & 0 & 4/6 \end{pmatrix}$$ Simplificamos las fracciones: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2/3 & 0 & -1/3 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ -1/3 & 0 & 2/3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}}$$