Estudio de funciones: Dominio, asíntotas y recta tangente

**a) Determine el dominio de $f(x)$ y calcule sus asíntotas.** La función $f(x) = \dfrac{x^3 + 4}{x^2 - 1}$ es una función racional. El dominio de este tipo de funciones es todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ excepto aquellos valores que anulan el denominador. Para hallar estos puntos, igualamos el denominador a cero: $$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm \sqrt{1} = \pm 1$$ Por lo tanto, la función no está definida en $x = 1$ y $x = -1$. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ siempre es $\mathbb{R} \setminus \{x : Q(x) = 0\}$. ✅ **Dominio:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que no pertenecen al dominio. Analizamos el comportamiento de la función en $x = -1$ y $x = 1$ mediante límites laterales: **Para $x = -1$:** $$\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 4}{x^2 - 1} = \frac{(-1)^3 + 4}{(-1)^2 - 1} = \frac{3}{0} = \infty$$ Calculando los límites laterales, obtendríamos $+\infty$ o $-\infty$, lo que confirma que existe una asíntota vertical en $x = -1$. **Para $x = 1$:** $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + 4}{x^2 - 1} = \frac{1^3 + 4}{1^2 - 1} = \frac{5}{0} = \infty$$ De igual forma, existe una asíntota vertical en $x = 1$. ✅ **Asíntotas Verticales (AV):** $$\boxed{x = -1, \quad x = 1}$$

Analizamos las asíntotas en el infinito: 1. **Asíntotas Horizontales:** Calculamos el límite cuando $x \to \pm \infty$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 4}{x^2 - 1} = \infty \quad \text{(ya que el grado del numerador es mayor que el del denominador)}$$ Por tanto, **no existen asíntotas horizontales**. 2. **Asíntotas Oblicuas:** Al no haber horizontales y ser el grado del numerador exactamente una unidad mayor que el del denominador, buscamos una asíntota del tipo $y = mx + n$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 4}{x(x^2 - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 4}{x^3 - x} = 1$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3 + 4}{x^2 - 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 4 - x(x^2 - 1)}{x^2 - 1}$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 4 - x^3 + x}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 4}{x^2 - 1} = 0$$ 💡 **Tip:** También se puede obtener la asíntota oblicua realizando la división polinómica de $x^3+4$ entre $x^2-1$. El cociente es la asíntota. ✅ **Asíntota Oblicua (AO):** $$\boxed{y = x}$$

**b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$.** Para hallar la recta tangente, necesitamos la pendiente en el punto $x=0$, que coincide con el valor de la derivada $f'(0)$. Calculamos $f'(x)$ usando la regla del cociente $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$u = x^3 + 4 \implies u' = 3x^2$$ $$v = x^2 - 1 \implies v' = 2x$$ $$f'(x) = \frac{3x^2(x^2 - 1) - (x^3 + 4)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{3x^4 - 3x^2 - 2x^4 - 8x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^4 - 3x^2 - 8x}{(x^2 - 1)^2}$$ Evaluamos en $x = 0$: $$f'(0) = \frac{0^4 - 3(0)^2 - 8(0)}{(0^2 - 1)^2} = \frac{0}{1} = 0$$ Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es $m = 0$. 💡 **Tip:** Si la pendiente es $m=0$, la recta tangente es una recta horizontal.

Necesitamos también la ordenada del punto, es decir, $f(0)$: $$f(0) = \frac{0^3 + 4}{0^2 - 1} = \frac{4}{-1} = -4$$ El punto de tangencia es $(0, -4)$. La ecuación de la recta tangente viene dada por: $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$ Sustituyendo los valores $x_0 = 0$, $f(0) = -4$ y $f'(0) = 0$: $$y - (-4) = 0(x - 0)$$ $$y + 4 = 0 \implies y = -4$$ ✅ **Resultado final (recta tangente):** $$\boxed{y = -4}$$