Continuidad y área de una función a trozos

**a) Determine para qué valores de $a \in \mathbb{R}$ la función $f(x)$ es continua en $\mathbb{R}$.** Primero analizamos la continuidad de cada una de las ramas de la función de forma independiente: 1. **Rama 1 ($x \lt 1$):** $f(x) = x^2 - ax$. Es una función polinómica, por lo que es continua en todo su intervalo de definición $(-\infty, 1)$. 2. **Rama 2 ($x \gt 1$):** $f(x) = \ln x$. La función logaritmo neperiano es continua para todos los valores de su dominio ($x \gt 0$). Como estamos en el intervalo $(1, +\infty)$, la función es continua en esta rama. Por tanto, el único punto donde podría existir un salto entre ramas es en el valor de corte **$x = 1$**. 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si lo es en cada rama y además los límites laterales coinciden en los puntos donde cambia la definición.

Para que la función sea continua en $x = 1$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista $f(1)$. 2. Que exista el límite de la función cuando $x \to 1$. 3. Que ambos valores coincidan. Calculamos el valor de la función en el punto: $$f(1) = 1^2 - a(1) = 1 - a$$ Calculamos los límites laterales: - **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (x^2 - ax) = 1 - a$$ - **Límite por la derecha ($x \to 1^+$):** $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (\ln x) = \ln(1) = 0$$ Para que sea continua, los límites laterales deben ser iguales: $$1 - a = 0 \implies a = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$

**b) Para $a = 1$, halle el área de la región acotada delimitada por la función $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x = -1, x = 0$.** Si $a = 1$, la función en el intervalo de interés ($x \le 1$) es: $$f(x) = x^2 - x$$ Nos piden el área entre $x = -1$ y $x = 0$. Primero, comprobamos si la función corta al eje de abscisas ($y = 0$) en ese intervalo para saber si el área cambia de signo. Resolviendo $x^2 - x = 0$: $$x(x - 1) = 0 \implies x = 0, x = 1$$ En el intervalo abierto $(-1, 0)$, la función no tiene raíces. Comprobamos el signo de la función en un punto cualquiera de ese intervalo, por ejemplo $x = -0,5$: $$f(-0,5) = (-0,5)^2 - (-0,5) = 0,25 + 0,5 = 0,75 \gt 0$$ Como la función es siempre positiva en el intervalo $(-1, 0)$, el área viene dada directamente por la integral definida: $$Area = \int_{-1}^{0} (x^2 - x) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre es un valor positivo. Si la función estuviera por debajo del eje $X$, el resultado de la integral sería negativo y tendríamos que tomar el valor absoluto.

Calculamos la integral definida aplicando la **Regla de Barrow**: 1. Hallamos la primitiva: $$\int (x^2 - x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}$$ 2. Evaluamos en los límites de integración $[-1, 0]$: $$Area = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0}$$ $$Area = \left( \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} \right)$$ $$Area = 0 - \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right)$$ Realizamos la suma de fracciones: $$Area = - \left( \frac{-2 - 3}{6} \right) = - \left( -\frac{5}{6} \right) = \frac{5}{6}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Area = \frac{5}{6} \text{ u}^2}$$