Probabilidad, teletrabajo y trastornos del sueño

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que aparecen en el enunciado: * $T$: El empleado teletrabaja. * $\bar{T}$: El empleado no teletrabaja. * $S$: El empleado padece trastornos del sueño. * $\bar{S}$: El empleado no padece trastornos del sueño. Del enunciado extraemos los siguientes datos: - $P(T) = 0.60$ - $P(\bar{T}) = 1 - 0.60 = 0.40$ - $P(S|T) = 0.30 \implies P(\bar{S}|T) = 1 - 0.30 = 0.70$ - $P(S|\bar{T}) = 0.80 \implies P(\bar{S}|\bar{T}) = 1 - 0.80 = 0.20$ Representamos esta información en un **diagrama de árbol** para facilitar los cálculos:

**a) No tenga trastornos del sueño y teletrabaje.** Nos piden la probabilidad de la intersección de dos sucesos: que el empleado no tenga trastornos del sueño ($\bar{S}$) y que teletrabaje ($T$). Esto corresponde a la probabilidad $P(\bar{S} \cap T)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la intersección: $$P(\bar{S} \cap T) = P(T) \cdot P(\bar{S}|T)$$ Sustituimos los valores obtenidos del enunciado: $$P(\bar{S} \cap T) = 0.60 \cdot 0.70 = 0.42$$ 💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, la probabilidad de una intersección se calcula multiplicando las probabilidades de las ramas que llevan a ese suceso final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{S} \cap T) = 0.42}$$

**b) No teletrabaje, sabiendo que no tiene trastornos del sueño.** Para resolver este apartado, primero necesitamos calcular la probabilidad total de que un empleado no tenga trastornos del sueño, $P(\bar{S})$. Según el **Teorema de la Probabilidad Total**, el suceso $\bar{S}$ puede ocurrir de dos formas: teletrabajando o no teletrabajando. $$P(\bar{S}) = P(T) \cdot P(\bar{S}|T) + P(\bar{T}) \cdot P(\bar{S}|\bar{T})$$ Sustituimos los valores: $$P(\bar{S}) = (0.60 \cdot 0.70) + (0.40 \cdot 0.20)$$ $$P(\bar{S}) = 0.42 + 0.08 = 0.50$$ 💡 **Tip:** La suma de las probabilidades de todas las ramas que terminan en el suceso que nos interesa nos da la probabilidad total de dicho suceso.

Ahora calculamos la probabilidad de que no teletrabaje ($\bar{T}$) dado que sabemos que no tiene trastornos del sueño ($\bar{S}$). Esto es una probabilidad condicionada $P(\bar{T}|\bar{S})$. Aplicamos la definición de **probabilidad condicionada** (o Teorema de Bayes): $$P(\bar{T}|\bar{S}) = \frac{P(\bar{T} \cap \bar{S})}{P(\bar{S})}$$ Ya conocemos ambos valores: - $P(\bar{T} \cap \bar{S}) = P(\bar{T}) \cdot P(\bar{S}|\bar{T}) = 0.40 \cdot 0.20 = 0.08$ - $P(\bar{S}) = 0.50$ Calculamos el cociente: $$P(\bar{T}|\bar{S}) = \frac{0.08}{0.50} = 0.16$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{T}|\bar{S}) = 0.16}$$