Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) Se toma una muestra de 500 menores de 14 años, de los cuales 320 tienen cuenta en alguna red social. Calcule el intervalo de confianza al 96 % para estimar la proporción de menores de 14 años que tienen cuenta en alguna red social.** En primer lugar, extraemos los datos proporcionados por el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 500$ - Número de éxitos (menores con red social): $x = 320$ - Proporción muestral ($\hat{p}$): $\hat{p} = \dfrac{320}{500} = 0,64$ - Proporción complementaria ($\hat{q}$): $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,64 = 0,36$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es la estimación puntual de la proporción poblacional $P$.

Para un nivel de confianza del $96\%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0,96 \implies \alpha = 0,04 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,02$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,02 = 0,98$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$: - Para $z = 2,05$, la probabilidad es $0,9798$. - Para $z = 2,06$, la probabilidad es $0,9803$. Tomamos el valor más cercano o realizamos una interpolación. En este nivel de Bachillerato, se suele tomar **$z_{\alpha/2} = 2,05$** (o $2,055$ para mayor precisión, pero usaremos $2,05$ por simplicidad). $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,05}$$

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos el margen de error ($E$): $$E = 2,05 \cdot \sqrt{\frac{0,64 \cdot 0,36}{500}} = 2,05 \cdot \sqrt{\frac{0,2304}{500}} = 2,05 \cdot \sqrt{0,0004608} \approx 2,05 \cdot 0,021466 \approx 0,044$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0,64 - 0,044 = 0,596$ - Límite superior: $0,64 + 0,044 = 0,684$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza nos indica que, con una seguridad del $96\%$, la verdadera proporción de menores con redes sociales está entre el $59,6\%$ y el $68,4\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0,596, \, 0,684)}$$

**b) Suponiendo que la proporción poblacional es $P = 0,5$, determine el tamaño mínimo necesario de una muestra de menores de 14 años para garantizar que, con una confianza del 95 %, el margen de error en la estimación no supere el 5 %.** Identificamos los nuevos parámetros: - Proporción poblacional supuesta: $P = 0,5 \implies Q = 1 - P = 0,5$ - Margen de error máximo admitido: $E = 0,05$ (el $5\%$) - Nivel de confianza: $95\%$ Para un nivel de confianza del $95\%$: $$1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,025$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975 \implies z_{\alpha/2} = 1,96$$ 💡 **Tip:** El valor $z_{\alpha/2} = 1,96$ para el $95\%$ de confianza es uno de los más utilizados en estadística.

La fórmula del margen de error es $E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{PQ}{n}}$. Despejamos $n$: $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot P \cdot Q}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{1,96^2 \cdot 0,5 \cdot 0,5}{0,05^2} = \frac{3,8416 \cdot 0,25}{0,0025} = \frac{0,9604}{0,0025} = 384,16$$ Como buscamos el tamaño mínimo de personas y el error debe ser **como máximo** del $5\%$, si tomamos $384$ el error sería ligeramente superior. Por tanto, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 385 \text{ menores}}$$