Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro $a$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & a^2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & a^2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 4 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, calcularemos el determinante de la matriz $A$ y estudiaremos para qué valores de $a$ se anula. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si $|A| \neq 0$ en un sistema $3 \times 3$, el rango es 3.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & a^2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot a^2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 \cdot (-1)] - [2 \cdot (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot a^2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A| = [-1 + 2a^2 + 1] - [2 - a^2 + 1]$$ $$|A| = 2a^2 - (3 - a^2) = 2a^2 - 3 + a^2 = 3a^2 - 3$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$3a^2 - 3 = 0 \implies 3a^2 = 3 \implies a^2 = 1 \implies \mathbf{a = 1, \quad a = -1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al resolver $x^2 = k$, las soluciones son $x = \pm \sqrt{k}$.

Analizamos los casos según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq -1$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de la matriz $A$ es 3. Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$, su rango máximo también es 3. - $\text{rang}(A) = 3$ - $\text{rang}(A^*) = 3$ - Número de incógnitas ($n$) = 3 Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n = 3$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única**. **Caso 2: $a = 1$ o $a = -1$** Dado que el parámetro $a$ solo aparece como $a^2$, el análisis es idéntico para ambos valores ya que $(\pm 1)^2 = 1$. La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 4 \end{array}\right)$$ Como $|A| = 0$, $\text{rang}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0 \implies \mathbf{\text{rang}(A) = 2}$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Tomamos el menor que incluye la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -1 & 4 \end{vmatrix} = (-4 + 6 + 1) - (2 - 3 + 4) = 3 - 3 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos, $\mathbf{\text{rang}(A^*) = 2}$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 \lt n$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones.

Recopilamos los resultados obtenidos: ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 1, a \neq -1: \text{ Sistema Compatible Determinado} \\ \text{Si } a = 1, a = -1: \text{ Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) Resuelva el sistema para $a = 1$.** Para $a = 1$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. Como vimos, el rango es 2, por lo que una de las ecuaciones es redundante. Usaremos las dos primeras ecuaciones y pasaremos una variable al otro lado como parámetro (usaremos $z = \lambda$). El sistema reducido es: $$\begin{cases} x + y - z = -1 \\ x - y + z = 3 \end{cases}$$ Hacemos el cambio **$z = \lambda$**: $$\begin{cases} x + y = -1 + \lambda \\ x - y = 3 - \lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para despejar $x$: $$(x + y) + (x - y) = (-1 + \lambda) + (3 - \lambda)$$ $$2x = 2 \implies \mathbf{x = 1}$$ Sustituimos $x = 1$ en la primera ecuación: $$1 + y = -1 + \lambda \implies y = -1 - 1 + \lambda \implies \mathbf{y = -2 + \lambda}$$ 💡 **Tip:** En un SCI, siempre debemos expresar las soluciones en función de uno o más parámetros (generalmente $\lambda, \mu...$).

Las soluciones del sistema para $a = 1$ vienen dadas por: ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\begin{cases} x = 1 \\ y = -2 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$