Programación lineal: Optimización de mezcla de frutos secos

**Represente la región factible. Calcule la cantidad de cada fruto seco que ha de contener la mezcla para obtener el máximo beneficio si un kg de almendras le deja un beneficio de 1 € y un kg de avellanas de 2 €, y obtenga el beneficio que se obtiene con la venta de esta mezcla.** En primer lugar, definimos las variables del problema: - $x$: cantidad de kilogramos de almendras en la mezcla. - $y$: cantidad de kilogramos de avellanas en la mezcla. A partir del enunciado, extraemos las restricciones que limitan nuestra solución: 1. **Disponibilidad de stock:** No podemos usar más de lo que hay en los sacos. $$0 \le x \le 50$$ $$0 \le y \le 25$$ 2. **Proporción de la mezcla:** La cantidad de almendras ($x$) debe ser al menos 1,5 veces la de avellanas ($y$): $$x \ge 1,5y \implies y \le \frac{x}{1,5} \implies y \le \frac{2}{3}x$$ 3. **Cantidad total de la mezcla:** Debe estar entre 60 y 70 kg: $$x + y \ge 60$$ $$x + y \le 70$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de programación lineal, asegúrate siempre de que las unidades sean coherentes y de incluir las restricciones de no negatividad ($x \ge 0, y \ge 0$), aunque en este caso ya están implícitas en el stock.

Queremos maximizar el beneficio total. El enunciado nos da el beneficio por cada kilogramo de fruto seco: - Beneficio almendras: $1 \text{ €/kg}$ - Beneficio avellanas: $2 \text{ €/kg}$ La función objetivo a maximizar es: $$\boxed{B(x, y) = x + 2y}$$ Nuestro objetivo es encontrar el punto $(x, y)$ dentro de la región factible que haga este valor lo más grande posible.

Para representar la región factible, dibujamos las rectas correspondientes a las desigualdades y sombreamos la zona común: - $r_1: x = 50$ (Recta vertical) - $r_2: y = 25$ (Recta horizontal) - $r_3: x = 1,5y \implies y = \frac{2}{3}x$ (Pasa por $(0,0)$ y $(30, 20)$) - $r_4: x + y = 60 \implies y = 60 - x$ (Pasa por $(60, 0)$ y $(0, 60)$) - $r_5: x + y = 70 \implies y = 70 - x$ (Pasa por $(70, 0)$ y $(0, 70)$) La región factible es el polígono sombreado en el interactivo.

Los vértices de la región factible se obtienen mediante la intersección de las rectas que la limitan: 1. **Vértice A:** Intersección de $x + y = 60$ y $x = 1,5y$. $$1,5y + y = 60 \implies 2,5y = 60 \implies y = 24; \, x = 36 \implies \mathbf{A(36, 24)}$$ 2. **Vértice B:** Intersección de $y = 25$ y $x = 1,5y$. $$x = 1,5(25) = 37,5 \implies \mathbf{B(37,5, 25)}$$ 3. **Vértice C:** Intersección de $y = 25$ y $x + y = 70$. $$x + 25 = 70 \implies x = 45 \implies \mathbf{C(45, 25)}$$ 4. **Vértice D:** Intersección de $x = 50$ y $x + y = 70$. $$50 + y = 70 \implies y = 20 \implies \mathbf{D(50, 20)}$$ 5. **Vértice E:** Intersección de $x = 50$ y $x + y = 60$. $$50 + y = 60 \implies y = 10 \implies \mathbf{E(50, 10)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda comprobar que los vértices hallados cumplen todas las demás restricciones para asegurar que pertenecen a la región factible.

Evaluamos el beneficio $B(x, y) = x + 2y$ en cada uno de los vértices hallados: - $B(A) = B(36, 24) = 36 + 2(24) = 36 + 48 = 84 \text{ €}$ - $B(B) = B(37,5, 25) = 37,5 + 2(25) = 37,5 + 50 = 87,5 \text{ €}$ - $B(C) = B(45, 25) = 45 + 2(25) = 45 + 50 = \mathbf{95 \text{ €}}$ - $B(D) = B(50, 20) = 50 + 2(20) = 50 + 40 = 90 \text{ €}$ - $B(E) = B(50, 10) = 50 + 2(10) = 50 + 20 = 70 \text{ €}$ El máximo beneficio se obtiene en el punto $C(45, 25)$. ✅ **Resultado final:** Para obtener el máximo beneficio, la mezcla debe contener **45 kg de almendras** y **25 kg de avellanas**. El beneficio máximo obtenido será de **95 €**. $$\boxed{\text{Mezcla: 45 kg almendras, 25 kg avellanas. Beneficio: 95 €}}$$