Estudio de funciones exponenciales e integración

**a) Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y determine sus extremos relativos indicando si corresponden a máximos o mínimos.** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos, primero debemos hallar la derivada de la función $f(x) = (x^2 - 3)e^x$ utilizando la regla del producto. $$f'(x) = (2x) \cdot e^x + (x^2 - 3) \cdot e^x$$ Factorizamos $e^x$ para simplificar la expresión: $$f'(x) = e^x (2x + x^2 - 3) = (x^2 + 2x - 3)e^x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. En este caso $u = x^2 - 3$ y $v = e^x$. $$\boxed{f'(x) = (x^2 + 2x - 3)e^x}$$

Para encontrar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies (x^2 + 2x - 3)e^x = 0$$ Como la función exponencial $e^x$ nunca es cero ($e^x \gt 0$ para todo $x$), resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x^2 + 2x - 3 = 0$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: $x_1 = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-6}{2} = -3$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline x^2+2x-3 & + & 0 & - & 0 & +\\ e^x & + & + & + & + & +\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ 💡 **Tip:** Para saber el signo en cada tramo, puedes sustituir un valor intermedio en $f'(x)$. Por ejemplo, $f'(0) = (0+0-3)e^0 = -3$, lo que confirma el signo negativo en $(-3, 1)$.

A partir de la tabla anterior, concluimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento: - La función es **creciente** en $(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$ porque $f'(x) \gt 0$. - La función es **decreciente** en $(-3, 1)$ porque $f'(x) \lt 0$. Para los extremos relativos: - En $x = -3$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. - En $x = 1$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Calculamos las ordenadas: $f(-3) = ((-3)^2 - 3)e^{-3} = 6e^{-3} = \frac{6}{e^3}$ $f(1) = (1^2 - 3)e^1 = -2e$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Crecimiento: } &(-\infty, -3) \cup (1, +\infty) \\ \text{Decrecimiento: } &(-3, 1) \\ \text{Máximo relativo: } &(-3, 6/e^3) \\ \text{Mínimo relativo: } &(1, -2e) \end{aligned}}$$

**b) Calcule $\int_{1}^{2} e^{-x} f(x) dx$** Sustituimos la expresión de $f(x) = (x^2 - 3)e^x$ en la integral: $$I = \int_{1}^{2} e^{-x} (x^2 - 3)e^x dx$$ Observamos que $e^{-x} \cdot e^x = e^0 = 1$, por lo que la integral se simplifica considerablemente: $$I = \int_{1}^{2} (x^2 - 3) dx$$ Ahora integramos el polinomio término a término: $$I = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x \right]_{1}^{2}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites superior e inferior: $$I = \left( \frac{2^3}{3} - 3(2) \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 3(1) \right)$$ $$I = \left( \frac{8}{3} - 6 \right) - \left( \frac{1}{3} - 3 \right)$$ $$I = \left( \frac{8 - 18}{3} \right) - \left( \frac{1 - 9}{3} \right)$$ $$I = -\frac{10}{3} - \left( -\frac{8}{3} \right) = -\frac{10}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** Simplificar el integrando antes de empezar suele ahorrar mucho trabajo, especialmente con exponenciales inversas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I = -\frac{2}{3}}$$