Probabilidad condicionada e independencia de sucesos

**a) Calcule $P(B|\bar{A})$** Primero, identificamos los datos del enunciado y calculamos sus complementarios si es necesario: - $P(A) = 0,5 \implies P(\bar{A}) = 1 - 0,5 = 0,5$ - $P(\bar{B}|A) = 0,4$ - $P(A \cup B) = 0,9$ A partir de la probabilidad condicionada $P(\bar{B}|A)$, podemos hallar la probabilidad del suceso contrario condicionado: $$P(B|A) = 1 - P(\bar{B}|A) = 1 - 0,4 = 0,6$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de un suceso y su contrario siempre es 1, incluso bajo una misma condición: $P(B|A) + P(\bar{B}|A) = 1$.

Para resolver el ejercicio de forma clara, vamos a calcular $P(A \cap B)$ usando la definición de probabilidad condicionada: $$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \implies P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A)$$ $$P(A \cap B) = 0,6 \cdot 0,5 = 0,3$$ Ahora calculamos $P(B)$ usando la fórmula de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$0,9 = 0,5 + P(B) - 0,3$$ $$0,9 = 0,2 + P(B) \implies P(B) = 0,7$$ Con estos datos, podemos construir una **tabla de contingencia** para visualizar todas las probabilidades del experimento: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 0,3 & 0,2 & 0,5 \\ \bar{A} & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\ \hline \text{Total} & 0,7 & 0,3 & 1,0 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, las celdas interiores son las intersecciones ($P(A \cap B)$, etc.) y los totales son las probabilidades marginales ($P(A)$, $P(B)$).

Para hallar $P(B|\bar{A})$, aplicamos de nuevo la definición de probabilidad condicionada utilizando los valores de la tabla: $$P(B|\bar{A}) = \frac{P(B \cap \bar{A})}{P(\bar{A})}$$ De la tabla o restando $P(B \cap \bar{A}) = P(B) - P(A \cap B) = 0,7 - 0,3 = 0,4$: $$P(B|\bar{A}) = \frac{0,4}{0,5} = 0,8$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{P(B|\bar{A}) = 0,8}$$

**b) Determine si son dependientes o independientes los sucesos $A$ y $B$. Justifique la respuesta.** Dos sucesos $A$ y $B$ son **independientes** si y solo si se cumple que: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Ya conocemos los valores necesarios: - $P(A \cap B) = 0,3$ - $P(A) = 0,5$ - $P(B) = 0,7$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot 0,7 = 0,35$$ Comparamos los resultados: $$0,3 \neq 0,35 \implies P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$$ Al no cumplirse la igualdad, los sucesos son **dependientes**. 💡 **Tip:** Otra forma de comprobarlo es ver si $P(B|A) = P(B)$. En este caso $0,6 \neq 0,7$, lo que confirma que la ocurrencia de $A$ altera la probabilidad de $B$. ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{\text{Los sucesos A y B son dependientes}}$$