Consumo de pan y nivel de confianza

**a) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 36. Calcule la probabilidad de que la media muestral $\bar{X}$ no supere los 125 gramos si $\mu = 120$ gramos.** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el consumo diario de pan (en gramos), que sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma) = N(120, 20)$. Al tomar muestras de tamaño $n = 36$, la media muestral $\bar{X}$ sigue también una distribución normal con los siguientes parámetros: - Media: $\mu_{\bar{X}} = \mu = 120$ - Desviación típica (error estándar): $\sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{20}{\sqrt{36}} = \dfrac{20}{6} = \dfrac{10}{3} \approx 3,3333$ Por lo tanto: $$\bar{X} \sim N\left(120, \dfrac{10}{3}\right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si la población es normal $N(\mu, \sigma)$, la distribución de las medias muestrales de tamaño $n$ siempre es $N(\mu, \sigma/\sqrt{n})$.

Queremos calcular la probabilidad de que la media no supere los 125 gramos, es decir, $P(\bar{X} \leq 125)$. Tipificamos la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \dfrac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$: $$P(\bar{X} \leq 125) = P\left( Z \leq \dfrac{125 - 120}{10/3} \right) = P\left( Z \leq \dfrac{5}{10/3} \right) = P\left( Z \leq \dfrac{15}{10} \right) = P(Z \leq 1,5)$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, obtenemos: $$P(Z \leq 1,5) = 0,9332$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \leq 125) = 0,9332}$$

**b) Sabiendo que para una muestra aleatoria simple de 81 estudiantes de secundaria se ha obtenido el intervalo de confianza (117,3444; 124,6556) para $\mu$, determine el nivel de confianza con el que se obtuvo dicho intervalo.** El intervalo de confianza para la media tiene la forma $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $E$ es el error máximo admisible. Podemos calcular el error $E$ restando los extremos del intervalo y dividiendo por 2 (o restando el extremo inferior a la media muestral): $$E = \dfrac{124,6556 - 117,3444}{2} = \dfrac{7,3112}{2} = 3,6556$$ También sabemos que los datos de la muestra son $n = 81$ y $\sigma = 20$. 💡 **Tip:** El ancho del intervalo es siempre $2E$. Conocer el ancho del intervalo es la forma más rápida de encontrar el error cometido.

La fórmula del error es $E = Z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Sustituimos los valores conocidos para despejar $Z_{\alpha/2}$: $$3,6556 = Z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{20}{\sqrt{81}}$$ $$3,6556 = Z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{20}{9}$$ $$Z_{\alpha/2} = \dfrac{3,6556 \cdot 9}{20} = \dfrac{32,9004}{20} = 1,64502 \approx 1,645$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $Z_{\alpha/2}$ es el número de desviaciones típicas que debemos alejarnos de la media para encerrar el área de confianza deseada.

Ahora que sabemos que $Z_{\alpha/2} = 1,645$, buscamos el nivel de confianza $(1 - \alpha)$. Sabemos que: $$P(Z \leq Z_{\alpha/2}) = 1 - \dfrac{\alpha}{2}$$ $$P(Z \leq 1,645) = 0,9500$$ Por tanto: $$1 - \dfrac{\alpha}{2} = 0,95 \implies \dfrac{\alpha}{2} = 0,05 \implies \alpha = 0,10$$ El nivel de confianza es: $$1 - \alpha = 1 - 0,10 = 0,90 \rightarrow 90\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El nivel de confianza es del } 90\%}$$