Ecuación matricial y dimensiones de matrices

**a) (1.5 puntos) Determine la matriz $X$ que verifica $A \cdot X + B = A^2 \cdot C$.** Primero debemos despejar la matriz $X$ de la ecuación dada. Para ello, seguimos las reglas del álgebra matricial, teniendo cuidado con el orden de las multiplicaciones. 1. Restamos la matriz $B$ en ambos miembros: $$A \cdot X = A^2 \cdot C - B$$ 2. Para despejar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de $A$ ($A^{-1}$), siempre que esta exista: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot (A^2 \cdot C - B)$$ $$X = A^{-1} \cdot A^2 \cdot C - A^{-1} \cdot B$$ Como $A^{-1} \cdot A^2 = A$, la expresión se simplifica a: $$X = A \cdot C - A^{-1} \cdot B$$ O bien, podemos calcular primero la matriz del lado derecho $D = A^2 \cdot C - B$ y luego resolver $X = A^{-1} \cdot D$. 💡 **Tip:** Recuerda que en matrices no existe la división. Para "quitar" una matriz que multiplica por la izquierda, multiplicamos por su inversa por la izquierda.

Para comprobar si $A$ tiene inversa, calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-2) \cdot (-1)] - [0 \cdot 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) \cdot 1]$$ $$|A| = [0 + 0 + 4] - [0 - 1 + 2] = 4 - 1 = 3$$ Como $|A| = 3 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible**.

Calculamos la matriz adjunta $Adj(A)$ para obtener la inversa mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$. Calculamos los adjuntos de cada elemento: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 1$ ; $A_{12} = -\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -2$ ; $A_{13} = +\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 2$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -1$ ; $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1$ ; $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ ; $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -5$ ; $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 2$ La matriz de adjuntos es $Adj(A) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & -5 & 2 \end{pmatrix}$. La traspuesta es $(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. Por tanto: $$\boxed{A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}}$$

Calculamos primero $A^2$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -2 & -3 & -5 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos $A^2 \cdot C$: $$A^2 \cdot C = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -2 & -3 & -5 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 11 & -16 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Finalmente, restamos $B$: $$D = A^2 \cdot C - B = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 11 & -16 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 8 & -17 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Resolvemos $X = A^{-1} \cdot D$: $$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 8 & -17 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1(0)-1(8)+1(1) & 1(1)-1(-17)+1(1) \\ -2(0)-1(8)-5(1) & -2(1)-1(-17)-5(1) \\ 2(0)+1(8)+2(1) & 2(1)+1(-17)+2(1) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -7 & 19 \\ -13 & 10 \\ 10 & -13 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -7/3 & 19/3 \\ -13/3 & 10/3 \\ 10/3 & -13/3 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Determine las dimensiones de dos matrices $P$ y $Q$ sabiendo que $A \cdot P^t + C = C \cdot (Q \cdot B)$** Analizamos las dimensiones término a término. Sabemos que: - $A$ es $3 \times 3$ - $B$ es $3 \times 2$ - $C$ es $3 \times 2$ **Para la matriz P:** En el lado izquierdo tenemos $A \cdot P^t + C$. Para poder sumar $C$, el producto $A \cdot P^t$ debe ser de la misma dimensión que $C$, es decir, **$3 \times 2$**. Como $A$ es $3 \times 3$, para que el producto $A \cdot P^t$ sea $3 \times 2$, $P^t$ debe tener dimensiones **$3 \times 2$**. Si $P^t$ es $3 \times 2$, entonces **$P$ es de dimensión $2 \times 3$**. **Para la matriz Q:** En el lado derecho tenemos $C \cdot (Q \cdot B)$. El resultado final debe ser de dimensión $3 \times 2$ (para igualar al lado izquierdo). Como $C$ es $3 \times 2$, el término $(Q \cdot B)$ debe tener dimensiones **$2 \times 2$** (pues $(3 \times 2) \cdot (2 \times 2) = 3 \times 2$). Si $(Q \cdot B)$ es $2 \times 2$ y sabemos que $B$ es $3 \times 2$, para que el producto $Q \cdot B$ sea posible y resulte en $2 \times 2$, la matriz $Q$ debe tener dimensiones **$2 \times 3$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P \in \mathcal{M}_{2 \times 3}, \quad Q \in \mathcal{M}_{2 \times 3}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar $M_{m \times n} \cdot N_{p \times q}$, debe cumplirse $n = p$, y el resultado es de dimensión $m \times q$.