Programación Lineal: Optimización de función objetivo

**a) (1.4 puntos) Represente dicho recinto y determine sus vértices.** El primer paso es transformar las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que limitan el recinto (región factible): 1. $r_1: y - 2x = 7 \implies y = 2x + 7$ 2. $r_2: -x + 3y = 21 \implies y = \frac{1}{3}x + 7$ 3. $r_3: x + 2y = 19 \implies y = \frac{19 - x}{2}$ 4. $r_4: x + y = 14 \implies y = 14 - x$ 💡 **Tip:** En este tipo de ejercicios de Bachillerato, aunque no se expliciten, se suelen considerar las restricciones de no negatividad **$x \ge 0$** e **$y \ge 0$** para que el recinto sea una región cerrada en el primer cuadrante. Sin ellas, el recinto sería ilimitado hacia el infinito negativo.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan en los bordes de la región factible: * **Vértice A:** Intersección del eje $Y$ ($x=0$) con $r_1$ y $r_2$. Si $x=0$ en $r_1 \to y = 7$. Si $x=0$ en $r_2 \to y = 7$. $\boxed{A(0, 7)}$ * **Vértice B:** Intersección de $r_2$ y $r_3$. $\begin{cases} -x + 3y = 21 \\ x + 2y = 19 \end{cases}$ Sumando ambas: $5y = 40 \implies y = 8$. Sustituyendo: $x + 16 = 19 \implies x = 3$. $\boxed{B(3, 8)}$ * **Vértice C:** Intersección de $r_3$ y $r_4$. $\begin{cases} x + 2y = 19 \\ x + y = 14 \end{cases}$ Restando: $y = 5$. Sustituyendo: $x + 5 = 14 \implies x = 9$. $\boxed{C(9, 5)}$ * **Vértice D:** Intersección de $r_4$ con el eje $X$ ($y=0$). $x + 0 = 14 \implies x = 14$. $\boxed{D(14, 0)}$ * **Vértice E:** Origen de coordenadas (intersección de ejes). $\boxed{E(0, 0)}$ 💡 **Tip:** Para saber qué región sombrear, toma un punto de prueba como el $(0,0)$ y comprueba si cumple todas las inecuaciones. En este caso: $0\le 7$, $0\le 21$, $0\le 19$ y $0\le 14$ son verdaderas.

Dibujamos las rectas y sombreamos el recinto común a todas las inecuaciones:

**b) (0.6 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo de la función $F(x, y) = x + 4y$ en el recinto anterior, así como los puntos donde se alcanzan.** Según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal, el máximo y el mínimo de una función objetivo en un recinto convexo se encuentran en uno de sus vértices. Evaluamos $F(x, y) = x + 4y$ en cada uno de ellos: * $F(E) = F(0, 0) = 0 + 4(0) = 0$ * $F(A) = F(0, 7) = 0 + 4(7) = 28$ * $F(B) = F(3, 8) = 3 + 4(8) = 3 + 32 = 35$ * $F(C) = F(9, 5) = 9 + 4(5) = 9 + 20 = 29$ * $F(D) = F(14, 0) = 14 + 4(0) = 14$ Comparando los resultados: - El **valor máximo es 35** y se alcanza en el punto **$(3, 8)$**. - El **valor mínimo es 0** y se alcanza en el punto **$(0, 0)$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: } 35 \text{ en } (3, 8); \text{ Mínimo: } 0 \text{ en } (0, 0)}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Podría tomar la función objetivo $F$ el valor 40 en algún punto de la región factible? ¿Y el valor 20? Justifique las respuestas.** La función objetivo $F(x, y)$ es una función continua definida sobre un recinto cerrado y acotado (compacto). Por tanto, toma todos los valores comprendidos entre su mínimo y su máximo (propiedad de los valores intermedios en regiones convexas). 1. **¿Valor 40?** Hemos calculado que el valor máximo de la función en el recinto es $35$. Dado que $40 > 35$, es **imposible** que la función tome el valor 40 dentro de la región factible. 2. **¿Valor 20?** El rango de valores que toma la función en el recinto es $[0, 35]$. Como $0 \le 20 \le 35$, la función **sí tomará el valor 20** en algún punto (o conjunto de puntos) del recinto. ✅ **Justificación:** $$\boxed{\text{40: No, porque supera el máximo (35). 20: Sí, porque está entre el mínimo (0) y el máximo (35).}}$$