Estudio de parámetros, representación de funciones y cálculo de áreas

**a) (1 punto) Se considera la función $f(x) = x^3 + bx^2 + cx - 1$ donde $b$ y $c$ son números reales. Determine el valor de $b$ y $c$ para que la función $f$ presente un extremo en el punto de abscisa $x = \frac{1}{3}$ y además la gráfica de la función $f$ pase por el punto $(-2, -3)$.** Para resolver este problema, debemos traducir las condiciones dadas en el enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. **Pasa por el punto $(-2, -3)$:** Esto significa que cuando $x = -2$, el valor de la función es $y = -3$. Es decir, $f(-2) = -3$. 2. **Extremo en $x = \frac{1}{3}$:** En los puntos donde hay un extremo relativo (máximo o mínimo), la derivada de la función debe ser igual a cero. Es decir, $f'\left(\frac{1}{3}\right) = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que si una función es derivable, la condición necesaria para que exista un extremo local en un punto es que su derivada se anule en dicho punto.

Sustituimos el punto $(-2, -3)$ en la expresión de $f(x) = x^3 + bx^2 + cx - 1$: $$(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) - 1 = -3$$ $$-8 + 4b - 2c - 1 = -3$$ $$4b - 2c - 9 = -3$$ $$4b - 2c = 6$$ Dividiendo toda la ecuación entre 2 para simplificar: $$2b - c = 3 \quad (\text{Ecuación 1})$$

Primero calculamos la derivada de $f(x)$: $$f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$$ Ahora imponemos que $f'\left(\frac{1}{3}\right) = 0$: $$3\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 2b\left(\frac{1}{3}\right) + c = 0$$ $$3\left(\frac{1}{9}\right) + \frac{2b}{3} + c = 0$$ $$\frac{1}{3} + \frac{2b}{3} + c = 0$$ Multiplicamos toda la ecuación por 3 para eliminar denominadores: $$1 + 2b + 3c = 0 \implies 2b + 3c = -1 \quad (\text{Ecuación 2})$$

Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} 2b - c = 3 \\ 2b + 3c = -1 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda: $$(2b + 3c) - (2b - c) = -1 - 3$$ $$4c = -4 \implies c = -1$$ Sustituimos $c = -1$ en la primera ecuación: $$2b - (-1) = 3 \implies 2b + 1 = 3 \implies 2b = 2 \implies b = 1$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{b = 1, \quad c = -1}$$

**b) (1.5 puntos) Dada la función $g(x) = -x^3 - x^2 + x + 1$, realice el esbozo de su gráfica, estudiando los puntos de corte con los ejes coordenados y su monotonía. Determine el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función $g$ y el eje de abscisas.** **Corte con el eje OY (eje de ordenadas):** Hacemos $x = 0$. $$g(0) = -0^3 - 0^2 + 0 + 1 = 1 \implies \text{Punto } (0, 1)$$ **Corte con el eje OX (eje de abscisas):** Hacemos $g(x) = 0$. $$-x^3 - x^2 + x + 1 = 0$$ Podemos resolver por Ruffini o agrupando términos: $$-x^2(x + 1) + 1(x + 1) = 0 \implies (x+1)(1-x^2) = 0$$ $$(x+1)(1-x)(1+x) = 0 \implies (x+1)^2(1-x) = 0$$ Las raíces son: $x = -1$ (doble) y $x = 1$. ✅ **Puntos de corte OX:** $$\boxed{(-1, 0) \text{ y } (1, 0)}$$

Calculamos la derivada $g'(x)$ para hallar los puntos críticos: $$g'(x) = -3x^2 - 2x + 1$$ Igualamos a cero: $$-3x^2 - 2x + 1 = 0 \implies 3x^2 + 2x - 1 = 0$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}$$ Las soluciones son $x = \frac{1}{3}$ y $x = -1$. **Tabla de signos de $g'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1, 1/3) & 1/3 & (1/3,+\infty)\\\hline g'(x) & - & 0 & + & 0 & -\\\hline g(x) & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow \end{array}$$ - **Decreciente** en $(-\infty, -1) \cup (1/3, +\infty)$ - **Creciente** en $(-1, 1/3)$ - **Mínimo relativo** en $x = -1$: $g(-1) = 0$. Punto $(-1, 0)$ - **Máximo relativo** en $x = 1/3$: $g(1/3) = -(1/27) - (1/9) + 1/3 + 1 = \frac{-1-3+9+27}{27} = \frac{32}{27} \approx 1.185$. Punto $(1/3, 1.185)$

Utilizando los puntos de corte, el máximo y el mínimo, realizamos el esbozo de la función. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "g", "latex": "g(x) = -x^3 - x^2 + x + 1", "color": "#2563eb" }, { "id": "area", "latex": "0 \\le y \\le g(x) \\left\{-1 \\le x \\le 1\\right\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -2.5, "right": 2.5, "bottom": -1, "top": 2 } } }

El área está limitada por la función $g(x)$ y el eje OX entre los puntos de corte $x = -1$ y $x = 1$. Dado que en este intervalo la función es siempre positiva (ya que el máximo es positivo y solo corta en los extremos), el área es simplemente la integral definida: $$A = \int_{-1}^{1} (-x^3 - x^2 + x + 1) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$G(x) = \int (-x^3 - x^2 + x + 1) \, dx = -\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{1}$$ $$A = \left( -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + (-1) \right)$$ $$A = \left( \frac{-3-4+6+12}{12} \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1 \right)$$ $$A = \left( \frac{11}{12} \right) - \left( \frac{-3+4+6-12}{12} \right)$$ $$A = \frac{11}{12} - \left( -\frac{5}{12} \right) = \frac{11+5}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si el resultado te diera negativo, revisa si la función está por debajo del eje OX en algún tramo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{4}{3} \text{ u}^2 \approx 1.33 \text{ u}^2}$$