Estudio de una función de beneficio cuadrática

**a) (0.75 puntos) Represente la función beneficio y calcule los puntos de corte con el eje $OX$.** Para hallar los puntos de corte con el eje $OX$, debemos resolver la ecuación $B(x) = 0$. Esto nos indicará para qué cantidad de kilogramos el beneficio es nulo. $$-0.02x^2 + 1.3x - 15 = 0$$ Utilizamos la fórmula general de la ecuación de segundo grado $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $$x = \frac{-1.3 \pm \sqrt{1.3^2 - 4(-0.02)(-15)}}{2(-0.02)}$$ $$x = \frac{-1.3 \pm \sqrt{1.69 - 1.2}}{-0.04} = \frac{-1.3 \pm \sqrt{0.49}}{-0.04}$$ $$x = \frac{-1.3 \pm 0.7}{-0.04}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $x_1 = \frac{-1.3 + 0.7}{-0.04} = \frac{-0.6}{-0.04} = 15$ 2. $x_2 = \frac{-1.3 - 0.7}{-0.04} = \frac{-2}{-0.04} = 50$ 💡 **Tip:** Recuerda que $x$ está en miles de kg, por lo que estos puntos corresponden a 15,000 y 50,000 kg. ✅ **Resultado (Puntos de corte):** $$\boxed{(15, 0) \text{ y } (50, 0)}$$

Para representar la función, que es una parábola con las ramas hacia abajo (porque $a = -0.02 \lt 0$), calculamos también el vértice y el corte con el eje $OY$. - **Vértice ($V$):** La coordenada $x$ es $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-1.3}{2(-0.02)} = 32.5$. La coordenada $y$ es $B(32.5) = -0.02(32.5)^2 + 1.3(32.5) - 15 = 6.125$. - **Corte eje $OY$:** $B(0) = -15$. El punto es $(0, -15)$. Aquí tienes la representación gráfica interactiva:

**b) (0.5 puntos) ¿Para qué valores de $x$ la finca no tiene pérdidas?** No tener pérdidas significa que el beneficio debe ser mayor o igual a cero: $B(x) \ge 0$. Al ser una parábola con forma de "U" invertida (cóncava), los valores donde la función es positiva o cero se encuentran entre sus dos raíces. Ya hemos calculado en el apartado (a) que las raíces son $x = 15$ y $x = 50$. Por lo tanto, la finca no tiene pérdidas cuando: $$15 \le x \le 50$$ 💡 **Tip:** En problemas de contexto, es vital interpretar el signo de la función. $B(x) \ge 0$ implica que estamos sobre o en el eje horizontal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x \in [15, 50]}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Para qué número de kilogramos el beneficio será máximo? ¿Cuánto vale dicho beneficio?** Como la función es una parábola, el máximo se encuentra en el vértice. Usamos la derivada para justificarlo de forma analítica: $$B'(x) = -0.04x + 1.3$$ Igualamos la derivada a cero para hallar el punto crítico: $$-0.04x + 1.3 = 0 \implies 1.3 = 0.04x \implies x = \frac{1.3}{0.04} = 32.5$$ Comprobamos que es un máximo con la segunda derivada: $$B''(x) = -0.04$$ Como $B''(32.5) \lt 0$, confirmamos que hay un **máximo relativo**. El valor del beneficio máximo es: $$B(32.5) = -0.02(32.5)^2 + 1.3(32.5) - 15 = 6.125$$ Interpretando las unidades: - Kilogramos: $32.5 \cdot 1000 = 32,500$ kg. - Beneficio: $6.125 \cdot 1000 = 6,125$ €. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo en } 32,500 \text{ kg con un beneficio de } 6,125\text{€}}$$

**d) (0.75 puntos) ¿Cuántos kilogramos debe vender para obtener un beneficio de 5000€?** Cuidado con las unidades: como $B(x)$ está expresado en miles de euros, 5000€ equivalen a $B(x) = 5$. Plantearnos la ecuación: $$-0.02x^2 + 1.3x - 15 = 5$$ $$-0.02x^2 + 1.3x - 20 = 0$$ Resolvemos de nuevo usando la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-1.3 \pm \sqrt{1.3^2 - 4(-0.02)(-20)}}{2(-0.02)}$$ $$x = \frac{-1.3 \pm \sqrt{1.69 - 1.6}}{-0.04} = \frac{-1.3 \pm \sqrt{0.09}}{-0.04}$$ $$x = \frac{-1.3 \pm 0.3}{-0.04}$$ Las dos soluciones posibles son: 1. $x_1 = \frac{-1.3 + 0.3}{-0.04} = \frac{-1}{-0.04} = 25$ 2. $x_2 = \frac{-1.3 - 0.3}{-0.04} = \frac{-1.6}{-0.04} = 40$ 💡 **Tip:** Es común que en funciones cuadráticas de beneficio existan dos cantidades que den el mismo beneficio (una antes del máximo y otra después). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe vender } 25,000 \text{ kg o } 40,000 \text{ kg}}$$