Probabilidad y Teorema de Bayes: Estudiantes y Empleo

Para resolver este problema de probabilidad, lo primero que haremos será definir los sucesos y organizar la información en un árbol de probabilidad. Definimos los sucesos relativos a la universidad de procedencia: - $A$: Estudiante de la universidad $A$. - $B$: Estudiante de la universidad $B$. - $C$: Estudiante de la universidad $C$. Definimos los sucesos relativos al empleo: - $T$: El estudiante encuentra trabajo en su región. - $\bar{T}$ (o $NT$): El estudiante **no** encuentra trabajo en su región. Datos conocidos: - $P(A) = 0.60$ - $P(B) = 0.30$ - $P(C) = 1 - (0.60 + 0.30) = 0.10$ (ya que la suma de probabilidades debe ser 1). - $P(\bar{T}|A) = 0.4 \implies P(T|A) = 0.6$ - $P(\bar{T}|B) = 0.5 \implies P(T|B) = 0.5$ Llamaremos $x = P(\bar{T}|C)$ a la probabilidad de no encontrar trabajo siendo de $C$.

**a) (1.5 puntos) Si la probabilidad de que un estudiante no encuentre trabajo en su región es 0.395, determine la probabilidad de que un estudiante de la universidad $C$ encuentre trabajo en su región.** Nos dan la probabilidad total de no encontrar trabajo: $P(\bar{T}) = 0.395$. Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(\bar{T}) = P(A) \cdot P(\bar{T}|A) + P(B) \cdot P(\bar{T}|B) + P(C) \cdot P(\bar{T}|C)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.395 = (0.6 \cdot 0.4) + (0.3 \cdot 0.5) + (0.1 \cdot P(\bar{T}|C))$$ Realizamos las operaciones: $$0.395 = 0.24 + 0.15 + 0.1 \cdot P(\bar{T}|C)$$ $$0.395 = 0.39 + 0.1 \cdot P(\bar{T}|C)$$ Despejamos $P(\bar{T}|C)$: $$0.1 \cdot P(\bar{T}|C) = 0.395 - 0.39$$ $$0.1 \cdot P(\bar{T}|C) = 0.005$$ $$P(\bar{T}|C) = \frac{0.005}{0.1} = 0.05$$ La pregunta nos pide la probabilidad de que un estudiante de $C$ **encuentre** trabajo ($P(T|C)$). Aplicamos la propiedad del suceso contrario: $$P(T|C) = 1 - P(\bar{T}|C) = 1 - 0.05 = 0.95$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T|C) = 0.95}$$

**b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un estudiante que no haya encontrado trabajo en su región proceda de la universidad $A$ o de la $B$.** Nos piden la probabilidad condicionada $P(A \cup B | \bar{T})$. Como los sucesos $A$ y $B$ son incompatibles (un estudiante no puede ser de dos universidades a la vez), se cumple que: $$P(A \cup B | \bar{T}) = P(A | \bar{T}) + P(B | \bar{T})$$ O bien, utilizando el suceso contrario (es de $A$ o $B$ si no es de $C$): $$P(A \cup B | \bar{T}) = 1 - P(C | \bar{T})$$ Vamos a calcularlo usando el **Teorema de Bayes** para cada caso o directamente sumando las intersecciones: $$P(A \cup B | \bar{T}) = \frac{P((A \cup B) \cap \bar{T})}{P(\bar{T})} = \frac{P(A \cap \bar{T}) + P(B \cap \bar{T})}{P(\bar{T})}$$ Calculamos los numeradores: - $P(A \cap \bar{T}) = P(A) \cdot P(\bar{T}|A) = 0.6 \cdot 0.4 = 0.24$ - $P(B \cap \bar{T}) = P(B) \cdot P(\bar{T}|B) = 0.3 \cdot 0.5 = 0.15$ Sumamos y dividimos por la probabilidad total $P(\bar{T}) = 0.395$ (dato del apartado anterior): $$P(A \cup B | \bar{T}) = \frac{0.24 + 0.15}{0.395} = \frac{0.39}{0.395}$$ Simplificando el resultado: $$P(A \cup B | \bar{T}) = \frac{390}{395} = \frac{78}{79} \approx 0.9873$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para calcular probabilidades a posteriori (sabiendo que ya ha ocurrido el efecto, cuál es la probabilidad de la causa). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B | \bar{T}) = \frac{78}{79} \approx 0.9873}$$