Independencia, incompatibilidad y cálculo de probabilidades

**a) (1 punto) ¿Son $A$ y $B$ independientes? ¿Son $A$ y $B$ incompatibles?** Primero, a partir de las probabilidades de los sucesos complementarios ($A^c$ y $B^c$), calculamos las probabilidades de los sucesos $A$ y $B$: $$P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$$ $$P(B) = 1 - P(B^c) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$ Ahora, para responder a la pregunta, necesitamos hallar la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$. Usamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$\frac{3}{7} = \frac{2}{7} + \frac{1}{3} - P(A \cap B)$$ $$P(A \cap B) = \frac{2}{7} + \frac{1}{3} - \frac{3}{7}$$ $$P(A \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{7} = \frac{7 - 3}{21} = \frac{4}{21}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de un suceso y su contrario siempre es 1: $P(A) + P(A^c) = 1$.

Analizamos las dos condiciones solicitadas: 1. **Incompatibilidad:** Dos sucesos son incompatibles si su intersección es vacía, es decir, $P(A \cap B) = 0$. Como $P(A \cap B) = \frac{4}{21} \neq 0$, los sucesos **no son incompatibles**. 2. **Independencia:** Dos sucesos son independientes si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Calculamos el producto de sus probabilidades: $$P(A) \cdot P(B) = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{21}$$ Como $P(A \cap B) = \frac{4}{21}$ y $P(A) \cdot P(B) = \frac{2}{21}$, vemos que $\frac{4}{21} \neq \frac{2}{21}$. Por tanto, los sucesos **no son independientes**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A y B no son independientes ni incompatibles}}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule $P(A^c \cap B^c)$.** Para calcular la probabilidad de que no ocurra ni $A$ ni $B$, aplicamos las **Leyes de De Morgan**, que establecen que la intersección de los complementarios es el complementario de la unión: $$A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$$ Por lo tanto: $$P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$$ Sustituimos el valor del enunciado: $$P(A^c \cap B^c) = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son fundamentales: "La probabilidad de que no pase ninguna de las dos cosas es 1 menos la probabilidad de que pase al menos una". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A^c \cap B^c) = \frac{4}{7}}$$

**c) (0.75 puntos) Calcule $P(B/A^c)$.** Usamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(B/A^c) = \frac{P(B \cap A^c)}{P(A^c)}$$ Primero necesitamos calcular $P(B \cap A^c)$. Esta es la probabilidad de que ocurra $B$ pero no ocurra $A$. Se calcula restando a la probabilidad de $B$ la parte que comparte con $A$: $$P(B \cap A^c) = P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(B \cap A^c) = \frac{1}{3} - \frac{4}{21} = \frac{7}{21} - \frac{4}{21} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$$ Ahora sustituimos en la fórmula de la condicionada: $$P(B/A^c) = \frac{1/7}{5/7}$$ Al tener el mismo denominador, simplificamos: $$P(B/A^c) = \frac{1}{5} = 0.2$$ 💡 **Tip:** La fórmula $P(B \cap A^c) = P(B) - P(A \cap B)$ es muy útil cuando no disponemos de una tabla de contingencia. Representa el suceso "B ocurre, pero A no". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B/A^c) = \frac{1}{5} = 0.2}$$