Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) (1.5 puntos) Determine un intervalo de confianza para la proporción de tornillos que cumplen con las especificaciones del fabricante con un nivel de confianza del 97%.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 1500$ - Tornillos que cumplen especificaciones: $x = 1425$ Calculamos la proporción muestral de éxito ($\hat{p}$) y su complementaria ($\hat{q}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{1425}{1500} = 0.95$$ $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.95 = 0.05$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ representa el porcentaje de éxitos observados en la muestra, mientras que $\hat{q}$ representa el de fracasos ($1-\hat{p}$).

Para un nivel de confianza del $97\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.97$. Calculamos el valor de $\alpha$ y $\alpha/2$: $$\alpha = 1 - 0.97 = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, el valor de probabilidad $0.985$ corresponde exactamente a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano o hacemos una interpolación, pero en este caso $0.985$ es exacto para $2.17$.

La fórmula del error máximo admisible para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.95 \cdot 0.05}{1500}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.0475}{1500}} \approx 2.17 \cdot 0.005627 = 0.01221$$ El intervalo de confianza se define como $I.C. = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$I.C. = (0.95 - 0.01221, \; 0.95 + 0.01221)$$ $$I.C. = (0.93779, \; 0.96221)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (0.9378, \; 0.9622)}$$

**b) (1 punto) Manteniendo la proporción muestral y el nivel de confianza del apartado anterior, ¿cuál tendría que ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al 1%?** En este apartado, los datos cambian a: - Error máximo: $E \lt 0.01$ (es decir, inferior al $1\%$). - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.95$. - Valor crítico (mismo nivel de confianza): $z_{\alpha/2} = 2.17$. Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies E^2 = (z_{\alpha/2})^2 \cdot \frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n} \implies n = \frac{(z_{\alpha/2})^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ 💡 **Tip:** Para que el error sea **menor** que un valor dado, el tamaño de la muestra debe ser **mayor** que el resultado del despeje.

Sustituimos los valores en la fórmula despejada: $$n \gt \frac{(2.17)^2 \cdot 0.95 \cdot 0.05}{(0.01)^2}$$ $$n \gt \frac{4.7089 \cdot 0.0475}{0.0001} = \frac{0.22367275}{0.0001}$$ $$n \gt 2236.7275$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero, redondeamos siempre al siguiente número entero para garantizar que el error sea estrictamente inferior al propuesto. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 2237 \text{ tornillos}}$$