Inferencia estadística: Intervalos de confianza y distribución muestral

**a) (1 punto) Se elige una muestra aleatoria de 100 titulados obteniéndose una media muestral de 8.1 días. Calcule un intervalo de confianza al 97% para estimar la media poblacional.** Primero, identificamos los datos del enunciado para la población y la muestra: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 3$. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Media muestral: $\bar{x} = 8.1$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 97%: 1. Si $1 - \alpha = 0.97$, entonces $\alpha = 0.03$. 2. Repartimos el riesgo en dos colas: $\alpha/2 = 0.015$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la Normal estándar $N(0,1)$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.9850.$$ Mirando en la tabla, el valor exacto para $0.9850$ es $z_{\alpha/2} = 2.17$. 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el punto que deja un área de $1-\alpha$ en el centro de la distribución normal estándar.

La fórmula para el intervalo de confianza de la media poblacional es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \dfrac{3}{\sqrt{100}} = 2.17 \cdot \dfrac{3}{10} = 2.17 \cdot 0.3 = 0.651.$$ Ahora construimos el intervalo restando y sumando el error a la media muestral: - Límite inferior: $8.1 - 0.651 = 7.449$. - Límite superior: $8.1 + 0.651 = 8.751$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (7.449, 8.751)}$$

**b) (1 punto) Con un nivel de confianza del 92%, calcule el tamaño muestral mínimo necesario para que el error cometido, al estimar el número medio de días que estos titulados tardan en encontrar trabajo, sea inferior a un día.** Identificamos los nuevos datos: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.92 \implies \alpha = 0.08 \implies \alpha/2 = 0.04$. - Error máximo: $E < 1$. - Desviación típica: $\sigma = 3$. Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.04 = 0.9600.$$ Buscando en la tabla de la $N(0,1)$, el valor más cercano a $0.9600$ es $0.9599$, que corresponde a: $$z_{\alpha/2} = 1.75.$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano o realizamos una interpolación. Aquí $1.75$ es una aproximación excelente.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \dfrac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ Elevando al cuadrado: $$n = \left( \dfrac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n > \left( \dfrac{1.75 \cdot 3}{1} \right)^2 = (5.25)^2 = 27.5625.$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** a 1, debemos redondear siempre al siguiente número entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 28 \text{ titulados}}$$

**c) (0.5 puntos) Suponiendo $\mu = 7.61$ días y tomando muestras aleatorias de 36 titulados, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria media muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea superior a 8 días?** Si la población sigue una distribución $N(\mu, \sigma)$, la distribución de las medias muestrales de tamaño $n$ sigue una distribución normal de parámetros: $$\bar{X} \sim N\left( \mu, \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Sustituimos los valores dados: $\mu = 7.61$, $\sigma = 3$ y $n = 36$: $$\bar{X} \sim N\left( 7.61, \dfrac{3}{\sqrt{36}} \right) = N\left( 7.61, \dfrac{3}{6} \right) = N(7.61, 0.5).$$ ✅ **Resultado (distribución):** $$\boxed{\bar{X} \sim N(7.61, 0.5)}$$

Queremos calcular $P(\bar{X} > 8)$. Para ello, tipificamos la variable usando $Z = \dfrac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$: $$P(\bar{X} > 8) = P\left( Z > \dfrac{8 - 7.61}{0.5} \right) = P\left( Z > \dfrac{0.39}{0.5} \right) = P(Z > 0.78).$$ Como las tablas solo muestran probabilidades para $P(Z \le z)$, usamos la propiedad del suceso complementario: $$P(Z > 0.78) = 1 - P(Z \le 0.78).$$ Buscamos $0.78$ en la tabla de la $N(0,1)$: $$P(Z \le 0.78) = 0.7823.$$ Calculamos la probabilidad final: $$P(\bar{X} > 8) = 1 - 0.7823 = 0.2177.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al tipificar, restamos la media y dividimos por la desviación típica de la distribución que estemos usando (en este caso, la de la media muestral, $0.5$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} > 8) = 0.2177}$$