Optimización del número de cajas de pastelitos

Para resolver este problema de programación lineal, primero debemos identificar qué es lo que queremos calcular (las incógnitas) y qué es lo que queremos maximizar. Definimos las variables: - $x$: número de cajas del primer tipo. - $y$: número de cajas del segundo tipo. Queremos maximizar el número total de regalos, es decir, la suma de las cajas de ambos tipos. Por tanto, la **función objetivo** es: $$f(x, y) = x + y$$ 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, la función objetivo siempre representa la magnitud que queremos hacer máxima o mínima (beneficios, costes, cantidad total, etc.).

A continuación, escribimos las limitaciones (restricciones) basadas en el número de pastelitos disponibles y las condiciones impuestas: 1. **Restricción de piononos:** Cada caja tipo 1 usa 3 y cada caja tipo 2 usa 4. No podemos superar los 120 disponibles: $$3x + 4y \le 120$$ 2. **Restricción de pestiños:** Cada caja tipo 1 usa 2 y cada caja tipo 2 usa 6. No podemos superar los 150 disponibles: $$2x + 6y \le 150$$ 3. **Restricción de cantidad mínima:** Se deben preparar al menos 9 cajas del segundo tipo: $$y \ge 9$$ 4. **No negatividad:** El número de cajas no puede ser negativo: $$x \ge 0$$ El sistema de restricciones es: $$\begin{cases} 3x + 4y \le 120 \\ 2x + 6y \le 150 \\ y \ge 9 \\ x \ge 0 \end{cases}$$

Representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para encontrar la región de soluciones posibles (región factible). - $r_1: 3x + 4y = 120$. Si $x=0, y=30$; si $y=0, x=40$. - $r_2: 2x + 6y = 150$. Si $x=0, y=25$; si $y=0, x=75$. - $r_3: y = 9$ (recta horizontal). - $r_4: x = 0$ (eje $Y$). La región factible es el polígono delimitado por estas rectas que cumple todas las desigualdades simultáneamente.

Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que limitan la región: - **Punto A:** Intersección de $x=0$ y $y=9 \implies \mathbf{A(0, 9)}$. - **Punto B:** Intersección de $x=0$ y $2x+6y=150 \implies 6y=150 \implies y=25 \implies \mathbf{B(0, 25)}$. - **Punto C:** Intersección de $3x+4y=120$ y $2x+6y=150$. Resolvemos el sistema: Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por -2: $$\begin{cases} 9x + 12y = 360 \\ -4x - 12y = -300 \end{cases} \implies 5x = 60 \implies x = 12.$$ Sustituimos $x=12$ en $2x+6y=150$: $24+6y=150 \implies 6y=126 \implies y=21$. Así, $\mathbf{C(12, 21)}$. - **Punto D:** Intersección de $y=9$ y $3x+4y=120$. $3x + 4(9) = 120 \implies 3x + 36 = 120 \implies 3x = 84 \implies x = 28$. Así, $\mathbf{D(28, 9)}$. 💡 **Tip:** Los valores máximos o mínimos de la función objetivo siempre se encuentran en los vértices de la región factible o en los segmentos que los unen.

Evaluamos $f(x, y) = x + y$ en cada vértice para encontrar el máximo: - $f(A) = f(0, 9) = 0 + 9 = 9$ - $f(B) = f(0, 25) = 0 + 25 = 25$ - $f(C) = f(12, 21) = 12 + 21 = 33$ - $f(D) = f(28, 9) = 28 + 9 = 37$ El valor máximo es **37**, que ocurre en el punto $D(28, 9)$. Esto significa preparar **28 cajas del primer tipo y 9 cajas del segundo tipo**. Calculamos los ingredientes utilizados en este caso: - **Piononos:** $3(28) + 4(9) = 84 + 36 = 120$ piononos. - **Pestiños:** $2(28) + 6(9) = 56 + 54 = 110$ pestiños. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: 37 regalos (28 tipo I y 9 tipo II). Se usarán 120 piononos y 110 pestiños.}}$$