Matrices, Inversa y Ecuaciones Matriciales

**a) (0.75 puntos) Halle los valores del parámetro $a$ para que la matriz $A$ tenga inversa.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (a \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 3) + (0 \cdot 0 \cdot 4) - (0 \cdot a \cdot 3) - (1 \cdot 0 \cdot 1) - (a \cdot 1 \cdot 4)$$ $$|A| = a^2 + 3 + 0 - 0 - 0 - 4a = a^2 - 4a + 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz $3 \times 3$, el determinante se calcula sumando los productos de las diagonales principales y restando los de las secundarias. $$\boxed{|A| = a^2 - 4a + 3}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que hacen que la matriz no sea invertible: $$a^2 - 4a + 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $a_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3$ - $a_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$ Por tanto, la matriz $A$ tendrá inversa para cualquier valor de $a$ distinto de $1$ y $3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{1, 3\}}$$

**b) (0.75 puntos) Para $a = 2$, calcule la matriz inversa de $A$.** Primero, sustituimos $a=2$ en la matriz $A$ y calculamos su determinante: $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ $|A| = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$ Utilizamos la fórmula de la matriz inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj}(A))^t$$ Calculamos los adjuntos de cada elemento $A_{ij}$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 4 = -2$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 3) = 3$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 0 - 6 = -6$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 0) = -1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -(8 - 3) = -5$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 0 = 4$

Escribimos la matriz adjunta y su traspuesta: $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -6 \\ -1 & 2 & -5 \\ 1 & -2 & 4 \end{pmatrix} \implies (\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ -6 & -5 & 4 \end{pmatrix}$ Finalmente, dividimos por el determinante $|A| = -1$: $A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ -6 & -5 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 2 \\ 6 & 5 & -4 \end{pmatrix}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 2 \\ 6 & 5 & -4 \end{pmatrix}}$$

**c) (1 punto) Para $a = 2$, resuelva la ecuación matricial $X \cdot A + I_3 = B^t \cdot C$.** Primero, despejamos la matriz incógnita $X$. Restamos $I_3$ en ambos lados: $$X \cdot A = B^t \cdot C - I_3$$ Multiplicamos por $A^{-1}$ por la derecha en ambos lados (el orden es crucial): $$X \cdot A \cdot A^{-1} = (B^t \cdot C - I_3) \cdot A^{-1}$$ $$X = (B^t \cdot C - I_3) \cdot A^{-1}$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el producto no es conmutativo ($A \cdot B \neq B \cdot A$), por lo que debes multiplicar por la inversa en el mismo lado en que se encuentra la matriz original.

Calculamos el producto $B^t \cdot C$: $B = (2 \quad -1 \quad 0) \implies B^t = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $C = (1 \quad 3 \quad -1)$ $$B^t \cdot C = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 1 & 2\cdot 3 & 2\cdot (-1) \\ -1\cdot 1 & -1\cdot 3 & -1\cdot (-1) \\ 0\cdot 1 & 0\cdot 3 & 0\cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -2 \\ -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $M = B^t \cdot C - I_3$: $$M = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -2 \\ -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -2 \\ -1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Calculamos $X = M \cdot A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -2 \\ -1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 2 \\ 6 & 5 & -4 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $x_{11} = 1(2) + 6(-3) + (-2)(6) = 2 - 18 - 12 = -28$ $x_{12} = 1(1) + 6(-2) + (-2)(5) = 1 - 12 - 10 = -21$ $x_{13} = 1(-1) + 6(2) + (-2)(-4) = -1 + 12 + 8 = 19$ - Fila 2: $x_{21} = -1(2) + (-4)(-3) + 1(6) = -2 + 12 + 6 = 16$ $x_{22} = -1(1) + (-4)(-2) + 1(5) = -1 + 8 + 5 = 12$ $x_{23} = -1(-1) + (-4)(2) + 1(-4) = 1 - 8 - 4 = -11$ - Fila 3: $x_{31} = 0(2) + 0(-3) + (-1)(6) = -6$ $x_{32} = 0(1) + 0(-2) + (-1)(5) = -5$ $x_{33} = 0(-1) + 0(2) + (-1)(-4) = 4$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -28 & -21 & 19 \\ 16 & 12 & -11 \\ -6 & -5 & 4 \end{pmatrix}}$$