Cálculo de parámetros y área de una función polinómica

**a) (1.25 puntos) Se considera la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, con $a, b$ y $c$ números reales. Calcule los valores $a, b$ y $c$, sabiendo que la gráfica de $f$ posee un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 3$ y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $P(0, 18)$ es $-3$.** Primero, identificamos la información que nos da el enunciado: 1. El punto $P(0, 18)$ pertenece a la gráfica, por lo que $f(0) = 18$. 2. La pendiente de la recta tangente en $x = 0$ es $-3$, lo que significa que $f'(0) = -3$. 3. Hay un extremo relativo en $x = 3$, lo que implica que $f'(3) = 0$. Usamos la primera condición en $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$: $$f(0) = 0^3 + a(0)^2 + b(0) + c = 18 \implies c = 18$$ 💡 **Tip:** Si un punto $(x_0, y_0)$ pertenece a la gráfica de una función, se cumple que $f(x_0) = y_0$.

Para aplicar las condiciones sobre la pendiente y el extremo, calculamos la derivada de $f(x)$: $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$ Aplicamos la condición de la pendiente en $x = 0$: $$f'(0) = 3(0)^2 + 2a(0) + b = -3 \implies b = -3$$ Ahora, con $b = -3$, usamos la condición del extremo relativo en $x = 3$ ($f'(3) = 0$): $$f'(3) = 3(3)^2 + 2a(3) + (-3) = 0$$ $$3(9) + 6a - 3 = 0$$ $$27 + 6a - 3 = 0$$ $$24 + 6a = 0 \implies 6a = -24 \implies a = -4$$ 💡 **Tip:** Un extremo relativo en un punto de una función derivable implica que su derivada en ese punto es igual a cero. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = -4, \; b = -3, \; c = 18}$$

**b) (1.25 puntos) Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función $g(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + 18$ y el eje de abscisas.** Para calcular el área, primero debemos encontrar los puntos de corte de $g(x)$ con el eje $OX$ (donde $g(x) = 0$): $$x^3 - 4x^2 - 3x + 18 = 0$$ Probamos con divisores de 18 (±1, ±2, ±3...). Para $x = -2$: $$(-2)^3 - 4(-2)^2 - 3(-2) + 18 = -8 - 16 + 6 + 18 = 0$$ Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -4 & -3 & 18 \\ -2 & & -2 & 12 & -18 \\\hline & 1 & -6 & 9 & 0 \end{array}$$ La ecuación queda $(x + 2)(x^2 - 6x + 9) = 0$. El segundo factor es un producto notable: $$(x + 2)(x - 3)^2 = 0$$ Las raíces son **$x = -2$** y **$x = 3$** (siendo $x=3$ una raíz doble). 💡 **Tip:** Los puntos de corte con el eje de abscisas determinan los límites de integración para el cálculo del área.

Como solo tenemos dos puntos de corte, el recinto está comprendido en el intervalo $[-2, 3]$. Comprobamos el signo de la función en un punto intermedio, por ejemplo $x = 0$: $$g(0) = 0^3 - 4(0)^2 - 3(0) + 18 = 18 \gt 0$$ Por tanto, la función es positiva en todo el intervalo y el área $A$ es: $$A = \int_{-2}^{3} (x^3 - 4x^2 - 3x + 18) dx$$ **Tabla de signos de $g(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,3) & 3 & (3,+\infty)\\\hline g(x) & - & 0 & + & 0 & + \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si la función fuera negativa en el intervalo, el área se calcularía como el valor absoluto de la integral.

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$G(x) = \int (x^3 - 4x^2 - 3x + 18) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 18x$$ Evaluamos en los límites: $$G(3) = \frac{3^4}{4} - \frac{4 \cdot 3^3}{3} - \frac{3 \cdot 3^2}{2} + 18 \cdot 3 = \frac{81}{4} - 36 - \frac{27}{2} + 54 = 20.25 - 36 - 13.5 + 54 = 24.75$$ $$G(-2) = \frac{(-2)^4}{4} - \frac{4(-2)^3}{3} - \frac{3(-2)^2}{2} + 18(-2) = 4 + \frac{32}{3} - 6 - 36 = \frac{32}{3} - 38 = \frac{32-114}{3} = -\frac{82}{3} \approx -27.33$$ Finalmente: $$A = G(3) - G(-2) = \frac{99}{4} - \left(-\frac{82}{3}\right) = \frac{297 + 328}{12} = \frac{625}{12}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{625}{12} \approx 52.08 \text{ u}^2}$$