Continuidad, derivabilidad con parámetros y cálculo de áreas

**a) (1.25 puntos) Se considera la función $f(x) = \begin{cases} 6x - 3 & x \le 1 \\ ax^2 + bx + 2 & x > 1 \end{cases}$ con $a$ y $b$ números reales. Determine los valores de $a$ y $b$ para que $f$ sea continua y derivable en todo su dominio.** Para que la función sea continua en todo su dominio, dado que cada rama es polinómica (y por tanto continua), el único punto conflictivo es el salto entre ramas en $x = 1$. Se debe cumplir que: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$$ Calculamos los límites laterales: - Límite por la izquierda ($x \le 1$): $$\lim_{x \to 1^-} (6x - 3) = 6(1) - 3 = 3$$ - Límite por la derecha ($x \gt 1$): $$\lim_{x \to 1^+} (ax^2 + bx + 2) = a(1)^2 + b(1) + 2 = a + b + 2$$ Igualamos ambos resultados para asegurar la continuidad: $$a + b + 2 = 3 \implies a + b = 1 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si el valor de la función coincide con sus límites laterales.

Para que la función sea derivable, primero debe ser continua (condición ya impuesta) y las derivadas laterales en $x = 1$ deben coincidir. Calculamos la derivada de la función para $x \neq 1$: $$f'(x) = \begin{cases} 6 & \text{si } x \lt 1 \\ 2ax + b & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ Exigimos que las derivadas laterales sean iguales: - Derivada por la izquierda: $$f'(1^-) = 6$$ - Derivada por la derecha: $$f'(1^+) = 2a(1) + b = 2a + b$$ Igualamos: $$2a + b = 6 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda comprobar siempre primero la continuidad antes que la derivabilidad, ya que si no es continua, no puede ser derivable.

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones obtenidas: $$\begin{cases} a + b = 1 \\ 2a + b = 6 \end{cases}$$ Podemos usar el método de resta (reducción): $$(2a + b) - (a + b) = 6 - 1$$ $$a = 5$$ Sustituimos $a = 5$ en la primera ecuación: $$5 + b = 1 \implies b = 1 - 5 = -4$$ Por tanto, para que la función sea continua y derivable en todo su dominio: ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 5, \quad b = -4}$$ La función resultante sería: $$f(x) = \begin{cases} 6x - 3 & \text{si } x \le 1 \\ 5x^2 - 4x + 2 & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$

**b) (1.25 puntos) Calcule el área del recinto acotado, limitado por el eje $OX$ y la gráfica de la función $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$.** Para hallar el área, primero necesitamos conocer los límites de integración, que son los puntos de corte de $g(x)$ con el eje $OX$ (donde $y = 0$). Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$-2x^2 + 8x - 6 = 0$$ Podemos simplificar dividiendo toda la ecuación por $-2$: $$x^2 - 4x + 3 = 0$$ Aplicamos la fórmula general: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Obtenemos los dos puntos de corte: $$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$ 💡 **Tip:** El área encerrada por una función y el eje horizontal se calcula mediante la integral definida entre los puntos de corte consecutivos.

El área $A$ vendrá dada por la integral definida de $g(x)$ entre $x = 1$ y $x = 3$. Puesto que $g(x)$ es una parábola con las ramas hacia abajo ($a = -2 \lt 0$), sabemos que en el intervalo $(1, 3)$ la función es positiva, por lo que el área será directamente el valor de la integral. $$A = \int_{1}^{3} (-2x^2 + 8x - 6) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$G(x) = \int (-2x^2 + 8x - 6) \, dx = -\frac{2x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} - 6x = -\frac{2x^3}{3} + 4x^2 - 6x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 4x^2 - 6x \right]_{1}^{3}$$ Evaluamos en los límites: - Para $x = 3$: $$G(3) = -\frac{2(3^3)}{3} + 4(3^2) - 6(3) = -18 + 36 - 18 = 0$$ - Para $x = 1$: $$G(1) = -\frac{2(1^3)}{3} + 4(1^2) - 6(1) = -\frac{2}{3} + 4 - 6 = -\frac{2}{3} - 2 = -\frac{8}{3}$$ Calculamos la diferencia: $$A = G(3) - G(1) = 0 - \left( -\frac{8}{3} \right) = \frac{8}{3} \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{8}{3} \approx 2.67 \text{ u}^2}$$